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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFPE, Cálculo 2, 1°EE, 2012.2, questão 1

Seja dada a curva

r → t = c o s t + t s e n t ,   s e n t - t c o s t , 1 2 t 2 ,   t ≥ 0

  1. Para cada valor do parâmetro t , encontre um vetor tangente e um vetor tangente unitário.
  2. Encontre o comprimento do arco, s , quando o parâmetro varia entre t = 0 e t = r
  3. Reparametrize a curva, agora com o comprimento do arco como novo parâmetro.

Passo 1

  1. Calculando o vetor tangente:

    2. r ' → t = - s e n t + s e n t + t c o s t ,   c o s t - c o s t + t s e n t , t

    r ' → t = t c o s t ,   t s e n t , t ,   t ≥ 0

    Passo 2

    Calculando o vetor tangente unitário:

    r u n i ' → t = r ' → t r ' t = t c o s t ,   + t s e n t , t t 2 cos 2 ⁡ t + t 2 s e n 2 t + t 2 =

    t c o s t ,   - t s e n t , t t 2 = 2 2 cos ⁡ t ,   2 2 s e n t , 2 2

    Passo 3

  2. O comprimento da curva é dado por:

    3. S = ∫ t 1 t 2 r ' ( t ) d t

    Substituindo:

    S = ∫ 0 r t 2 d t = 2 t 2 2 r 0 = 2 r 2 2

    Passo 4

  3. Nós encontramos no item anterior:

S = 2 r 2 2

Ajeitando:

r = 2 S 2 4 = 2 4 S

Substituindo, a reparametrização fica:

r → s = cos ⁡ 2 4 S + 2 4 S s e n 2 4 S ,   s e n 2 4 S - 2 4 S cos ⁡ 2 4 S , 1 2 2 4 S 2

Resposta

  1. r ' → t = t c o s t ,   t s e n t , t ,   t ≥ 0 , r u n i ' → t =   2 2 cos ⁡ t ,   2 2 s e n t , 2 2
  2. 2 r 2 2
  3. r → s = cos ⁡ 2 4 S + 2 4 S s e n 2 4 S ,   s e n 2 4 S - 2 4 S cos ⁡ 2 4 S , 1 2 2 4 S 2

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