UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 1, Questão 3
Determine o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento de arco da equação vetorial , onde varia no intervalo de a .
O comprimento de arco de uma curva pode ser definido pela equação:
Nós já temos o , com as componentes e . Então, o que nós vamos fazer é derivar essa equação vetorial, calcular seu módulo e, a partir desse resultado, calcular a integral dentro do intervalo onde varia para obter o comprimento de arco da nossa curva.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da equação vetorial :
Beleza, agora vamos calcular o módulo desse vetor fazendo:
Onde e são as derivadas das componentes da equação vetorial. Assim, temos:
Passo 3
Agora basta a gente calcular a integral de no intervalo :
Usando uma calculadora avançada ou um software é possível obter a aproximação numérica para a integral acima:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉