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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2015.2, questão 1bc

Dada a curva

γ t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

b) Calcule γ ' ( t )

c) Calcule o comprimento do arco do ponto γ ( 0 ) até γ ( 2 π ) .

Passo 1

b )

Mole mole, fácil fácil. É só derivar cada componente. Pela regra do produto,

x ' ( t ) = 1 . cos ⁡ t - t sen ⁡ t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t

y ' t = 1 . sen ⁡ t + t cos ⁡ t = sen ⁡ t + t cos ⁡ t

Assim

γ ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t ,   sen ⁡ t + t cos ⁡ t

Passo 2

c )

O comprimento do arco é dado por

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

Vamos encontrar t 1 e t 2 :

O problema já forneceu os valores de t 1 e t 2 .

Portanto:

t 1 = 0 t 2 = 2 π

Passo 3

Calcular σ ' ( t ) :

γ ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t ,   sen ⁡ t + t cos ⁡ t

Passo 4

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' ( t ) = cos ⁡ t - t sen ⁡ t 2 + (   sen ⁡ t + t cos ⁡ t ) 2

σ ' ( t ) = cos ² ⁡ t - 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + t 2 sen 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + t 2 cos ² ⁡ t

σ ' ( t ) = cos ² ⁡ t + sen 2 ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

σ ' ( t ) = 1 + t 2

Passo 5

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

⇒ L = ∫ 0 2 π 1 + t 2   d t

Já vimos como calculamos esta integral indefinida com uma substituição trigonométrica ( fazemos →   t = tan ⁡ u ∴ 1 + t 2 = sec 2 ⁡ u = sec ⁡ u ∴ d t = sec 2 ⁡ u   d u ) :

∫ 1 + t 2     d t = t ∙ t 2 + 1 + ln ⁡ t + t 2 + 1 2 + C

Substituindo na integral definida:

L = 2 π ∙ 4 π 2 + 1 + l n ⁡ 2 π + 4 π 2 + 1 2 - 0 ∙ 0 2 + 1 + l n ⁡ 0 + 0 2 + 1 2

⇒ L = π ∙ 4 π 2 + 1 +   ln ⁡ 2 π + 4 π 2 + 1 2  

Resposta

b) γ ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t ,   sen ⁡ t + t cos ⁡ t

c) L = π ∙ 4 π 2 + 1 +   ln ⁡ 2 π + 4 π 2 + 1 2

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