A espiral logarítmica é a curva plana definida por γ t = ( e - t cos ⁡ t , e - t sen ⁡ t ) .

Calcule o comprimento de arco entre γ ( 0 ) e γ ( t ) .

Passo 1

L = ∫ t 1 t 2 γ ' ( t ) d t

Encontrar t 1 e t 2 :

O problema já forneceu os valores de t correspondentes aos pontos inicial e final:

t 1 = 0 t 2 = t

Passo 2

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' t = - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t ,   cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t

Passo 3

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' ( t ) = - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t 2 + cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t 2

γ ' ( t ) = - cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 e - 2 t + cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 + 2 cos ⁡ t sen ⁡ t e - 2 t + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - t

Passo 4

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 γ ' ( t ) d t

⇒ L = ∫ 0 t 2 e - t d t

⇒ L = 2 ∫ 0 t e - t d t

Calculemos a integral indefinida:

∫ e - t d t = - e - t

Substituindo na integral definida temos que:

∫ 0 t e - t d t = - e t - ( - e 0 )

∫ 0 t e - t d t = 1 - e - t

Substituindo na expressão acima:

L = 2 ∫ 0 t e - t d t

L = 2 - e - t t = 0 t

L = 2 - e - t - - e - 0

L = 2 - e - t - - 1

L = 2 - e - t + 1

⇒ L = 2 ( 1 - e - t )

Resposta

L = 2 1 - e - t

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