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Exercícios Resolvidos de Conjugado

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 3, GMA, 2008-1, Questão 10

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x 3 1 + 3 x - 1 3

Passo 1

Vishe, temos uma raiz cubica. Se fosse uma raiz quadrada era bem tranquilo. Era só multiplicar pelos conjugados e correr para o abraço, mas e agora?

Calma, jovem. Aqui não tem mistério também, primeiramente, vamos deixar esse limite na forma geral para facilitar na hora de substituir:

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x 3 1 + 3 x - 1 3

Se fizermos a = 1 3 e b = 3 x - 1 3 , ficamos com:

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x 3 a + b

Não mexemos no numerador por enquanto.

Passo 2

Quando temos raiz cúbica, indeterminação zero sobre zero e a + b , é só multiplicar e dividir por:

a 2 - a b + b 2

Pois, distribuindo, resulta em:

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x 3 a + b ⋅ a 2 - a b + b 2 a 2 - a b + b 2 = lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x   3 a 2 - a b + b 2 a 3 + b 3 =

Sabendo que = 1 3 e b = 3 x - 1 3 :

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x   3 a 2 - a b + b 2 a 3 + b 3 = lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x   3 1 2 3 - 1 3 ⋅ 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 1 + 3 x - 1 =

l i m x → 0 1 - 1 - x   3 1 2 3 - 1 3 ⋅ 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x

Veja que tiramos a raiz cúbica do denominador, mas ainda temos a indeterminação zero sobre zero. Para removê-la, vamos fazer a mesma coisa que fizemos no denominador, mas para o numerador.

Passo 3

Antes de fazer isso, vamos tentar simplificar a expressão:

1 2 3 = 1 1 3 = 1

Logo:

l i m x → 0 1 - 1 - x   3 1 2 3 - 1 3 ⋅ 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x =

l i m x → 0 1 - 1 - x   3 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x

Beleza, agora consideramos a = 1 3 e b = 1 - x   3 . Ficando:

l i m x → 0 1 - 1 - x   3 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x = l i m x → 0 a - b 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x

Quando temos raiz cúbica, indeterminação zero sobre zero e a - b , é só multiplicar e dividir por:

a 2 + a b + b 2

Levando a:

l i m x → 0 a - b 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x ⋅ a 2 + a b + b 2 a 2 + a b + b 2 =

l i m x → 0 a 3 - b 3 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x ⋅ a 2 + a b + b 2

Retornando aos valores originais:

l i m x → 0 1 - 1 - x 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x ⋅ 1 + 1 - x   3 + 1 - x 2 3   = l i m x → 0 x 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 x ⋅ 1 + 1 - x   3 + 1 - x 2 3  

Passo 4

Veja que agora podemos cortar o x , ficando:

… = l i m x → 0 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 1 + 1 - x   3 + 1 - x 2 3  

Não temos mais aquela indeterminação e podemos substituir direito no ponto agora: l i m x → 0 1 - 3 x - 1 3 + 3 x - 1 2 3 3 1 + 1 - x   3 + 1 - x 2 3   = 1 + 1 + 1 3 1 + 1 + 1 = 1 3

Pronto!

Resposta

1 3

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