Calcule o limite ou prove que não existe:

c   lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 x

Passo 1

Temos uma indeterminação de subtração.

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 x

= ∞ - ∞

Repara que um dos termos tem uma raiz, a boa era procurar um jeito de eliminar a indeterminação tirando essa raiz. Para isso, temos um produto notável legal:

a - b a + b = a 2 - b 2

x - x 2 + 3 x x + x 2 + 3 x = x 2 - x 2 + 3 x 2

= x 2 - x 2 - 3 x

= - 3 x

Vamos multiplicar em cima e embaixo por x + x 2 + 3 x :

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 x = lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 x x + x 2 + 3 x x + x 2 + 3 x

= lim x → + ∞ ⁡ - 3 x x + x 2 + 3 x

Passo 2

A partir de agora nós temos uma divisão de polinômios com um limite indo para + ∞ . Vamos dividir tudo pelo maior grau, acaba sendo dividir tudo por x no grau 1 , nesse caso:

lim x → + ∞ ⁡ - 3 x x + x 2 + 3 x

= lim x → + ∞ ⁡ - 3 ( x ) x 1 + 1 + 3 x

lim x → + ∞ ⁡ - 3 1 + 1 + 3 x

= - 3 1 + 1

= - 3 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 3 x = - 3 2

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