Calcule o seguinte limite: (NÃO é permitido o uso da Regra de L’Hôpital)

lim x → 8 ⁡ 8 - x x 3 - 2

Passo 1

Jogando x = 8 no limite:

lim x → 8 ⁡ 8 - x x 3 - 2 = 8 - 8 2 - 2 = 0 0

Passo 2

Colega, indeterminação 0 / 0 com esse termo da raiz cúbica no denominador, não tem erro: é conjugado na certa!

Quando aparece um termo a - b com uma raiz cúbica, o produto notável que temos que usar é o seguinte:

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Nesse caso:

a - b = x 3 - 2

Ou seja, vamos usar

x 3 - 2 x 2 3 + 2 x 3 + 4 = x - 8

Passo 3

Mas na hora de usar isso no limite, temos que multiplicar em cima também, pra não alterar a expressão.

Então vamos ter:

lim x → 8 ⁡ 8 - x x 3 - 2 = lim x → 8 ⁡ 8 - x x 3 - 2 ⋅ x 2 3 + 2 x 3 + 4 x 2 3 + 2 x 3 + 4

= lim x → 8 ⁡ 8 - x x 2 3 + 2 x 3 + 4 x - 8 = lim x → 8 ⁡ 8 - x x 2 3 + 2 x 3 + 4 - 8 - x

Passo 4

Cortando o 8 - x em cima e em baixo:

- lim x → 8 ⁡ x 2 3 + 2 x 3 + 4 = - 8 3 2 + 2 8 3 + 4

= - 4 + 4 + 4 = - 12

Pronto!

Resposta

- 12

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