Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ x + 2 + x + 6 - 6 - 2 x

Passo 1

Não podemos substituir x por 0 no limite porque o denominador se anularia. Vamos pensar em uma maneira de contornar esse problema. Para começar, vou reescrever a expressão do limite da seguinte forma:

lim x → 0 ⁡ x + 2 - 2 x + x + 6 - 6 x

Já conseguiu sacar o que podemos fazer agora? Vamos multiplicar cada termo da expressão pelo seu conjugado.

lim x → 0 ⁡ x + 2 - 2 x . x + 2 + 2 x + 2 + 2 + x + 6 - 6 x ( x + 6 + 6 ) ( x + 6 + 6 )

Agora podemos usar o produto notável

a + b a - b = ( a 2 - b 2 )

Vai ficar assim:

lim x → 0 ⁡ x + 2 - 2 x x + 2 + 2 + x + 6 - 6 x ( x + 6 + 6 )

lim x → 0 ⁡ x x x + 2 + 2 + x x ( x + 6 + 6 )

lim x → 0 ⁡ 1 x + 2 + 2 + 1 ( x + 6 + 6 )

Passo 2

Agora podemos resolver normalmente fazendo substituição.

lim x → 0 ⁡ 1 x + 2 + 2 + 1 ( x + 6 + 6 ) = 1 ( 0 + 2 + 2 ) + 1 ( 0 + 6 + 6 ) = 1 2 2 + 1 2 6 = 2 + 6 4 3

Resposta

2 + 6 4 3

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