UFMG, Cálc.1, P1, 2
Calcule o limite, se existir,
Passo 1
Falaaaaa, blz? Bora lá para segunda questãozinha dessa prova.
Esse problema é clássico, nosso objetivo aqui é tentar achar uma forma de resolver esse limite. Para isso, vamos notar que o grande problema dele é o denominador. Pois se colocarmos teremos problema no denominador (seria zero).
Ou seja, nosso foco é fazer algo na expressão para que possamos colocar o valor de sem problemas.
Nessa questão não temos muito o que fazer diretamente no denominador, não há muitas possibilidades de mexer/fatorar de forma que mude a expressão, ou seja, o que nos resta é ver o que podemos fazer no numerador.
Quando vemos algo do tipo é natural multiplicarmos por para racionalizar. Bora fazer isso e ver o que acontece?
Passo 2
Vamos racionalizar o numerador dessa expressão:
A grande motivação de fazer isso é usar a seguinte fatoração:
Usando isso no numerador:
Ou seja:
Agora ocorre algo maneiro, está enxergando??
Veja que podemos usar a mesma fatoração de antes, no numerador, pois temos algo do tipo , bora fazer isso:
Nesse momento a gente agradece por ter dado certo, pois podemos cortar o e o grande problema da questão some, pois substituir agora não será problema.
Passo 3
E por isso, temos que:
E agora podemos fazer
Dai, temos que:
E agora chegamos na resposta, temos que