UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.10a
Calcule os limites abaixo (sem usar L’Hopital).
Passo 1
Fala aí galera! Tudo bem com vocês?
Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:
Mas, ainda que ele se encaixasse na regra de L’hopital, não podemos utilizá-la. Beleza?
Bom, a etapa inicial em qualquer limite é sempre buscar substituir o valor que está tendendo dentro da nossa função pra ver se temos alguma indeterminação matemática ou se já conseguimos determinar o valor do limite.
Assim:
Pois, tanto como tendem a infinito quando . Sacaram?
Será que podemos dizer que:
Nãoooo!! Ainda que esse limite realmente dê zero, não podemos fazer operações entre limites como se eles fossem um número comum, beleza?
A ideia aqui então é mudar a cara desse limite pra sair dessa subtração vacilona haha.
Vem comigo que vamos ver bem direitinho como usar um truque truqento nesse limite 😊
Passo 2
Bom, queremos mudar a cara do limite:
Basicamente, queremos que a expressão deixe de ser .
Uma ideia interessante quando falamos de raízes é tentar colocar tudo em uma fração, usando a ideia da racionalização: multiplicar pelo conjugado.
Assim, podemos dizer que:
No numerador vamos ter o produto notável da diferença de quadrados, daí ficamos com:
Olha que legal! Sumimos com o do numerador.
Logo:
Excelente! Substituindo de volta no limite, teremos:
Mas olha que massa! Nessa expressão, quando substituímos por infinito, ficamos com algo do tipo:
Logo, concluímos que:
E aí, conseguiram entender? Responde Aí 😉