Calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x - 1

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir o ponto do limite: lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x - 1 = 4 - 2 1 - 1 = 0 0

Temos aqui uma indeterminação, então vamos precisar manipular o nosso limite para chegar no resultado.

Passo 2

Como temos uma raiz e x tendendo para uma constante, temos aqui um caso típico no qual temos que multiplicar e dividir tudo pelo conjugado da parte com raiz. O conjugado x 2 + 3 - 2 é simplesmente x 2 + 3 + 2 , com o sinal trocado. Ficando:

lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x - 1 ⋅ x 2 + 3 + 2 x 2 + 3 + 2

Como a - b a + b = a 2 - b 2 , ficamos com: lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x - 1 ⋅ x 2 + 3 + 2 x 2 + 3 + 2 = lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 4 x - 1 x 2 + 3 + 2 = lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 x 2 + 3 + 2

Lembre-se de não distribuir a parte que não multiplica seu conjugado, por isso deixamos o denominador daquele jeito, em evidência mesmo.

Passo 3

Feito isso, vamos tentar cortar o numerador e o denominador de alguma forma. Como:

x 2 - 1 = x + 1 x - 1

Temos:

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 x 2 + 3 + 2 = lim x → 1 ⁡ x + 1 x - 1 x - 1 x 2 + 3 + 2 = lim x → 1 ⁡ x + 1 x 2 + 3 + 2

Passo 4

Agora vamos tentar substituir o ponto novamente:

lim x → 1 ⁡ x + 1 x 2 + 3 + 2 = 2 4 + 2 = 1 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 2 + 3 - 2 x - 1 = 1 2

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