1. Determine, sem usar qualquer artifício que envolva derivação, o valor da constante real p para que o limite abaixo exista e seja finito. Calcule o valor do limite também.
  2. lim x → 0 ⁡ 1 + x - ( 1 + p x ) x 2

  3. Prove ou dê um contraexemplo:

“Se lim x → 0 ⁡ f x 2   existe e é finito, então lim x → 0 ⁡ f ( x )   também existe e é finito

Passo 1

Faaala, pessoal! Vamos destrinchar a expressão usando o truque do conjugado: multiplicar uma soma pela diferença e vice-versa, a fim de sumir com a raiz e depois forçar a finitude do limite com p :

L = lim x → 0 ⁡ 1 + x - ( 1 + p x ) x 2 ⋅ 1 + x + ( 1 + p x ) 1 + x + ( 1 + p x ) =

= lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 + p x 2 x 2 1 + x + 1 + p x =

= lim x → 0 ⁡ 1 + x - 1 - 2 p x - p 2 x 2 x 2 ⋅ l i m x → 0 1 1 + x + 1 + p x =

= lim x → 0 ⁡ 1 - 2 p x - p 2 x 2 x 2 ⋅ 1 1 + 1 =

= 1 2 lim x → 0 ⁡ 1 - 2 p x - p 2

Para que o limite seja exista e seja finito, tomamos p = 1 / 2 , tal que:

L = 1 2 - p 2 = - 1 / 8

Resposta

p = 1 2 ,   L = - 1 8

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