UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – AV1, 2021.2 – 4b
Calcule os limites:
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um limite e pediu pra gente calcular ele. Em outras palavras, ele quer saber o que acontece com a função quando tende a infinito (). Mas o quê que isso quer dizer?
Quer dizer que quanto mais vai se aproximando de , se esse limite existir, então a função vai se aproximando de um valor. E qual valor é esse?
É isso que nós vamos descobrir!
Passo 2
Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:
Como é que a gente pode calcular o limite dessa função? Bom, se eu substituir o infinito no lugar do , vai ficar assim:
E isso não nos leva a lugar nenhum, porque como é muito grande e , nesse caso, fica difícil saber o que acontece se eu subtrair um do outro. Além disso, infinito não é um número, então não podemos definir . Beleza, então o que eu faço?
A gente pode tentar reescrever essa função pra sair dessa indeterminação. Uma forma de fazer isso é multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do radical, que é isso aqui:
Que é como se eu tivesse multiplicando por , concorda? Então não altera a função.
Passo 3
Aplicando no limite, nós temos:
Multiplicando termo a termo:
Simplificando:
Agora, pra tentar substituir o limite, a gente sempre pode tentar dividir todo mundo pela maior potência do denominador. A nossa maior potência seria , mas ela tá dentro da raiz, então:
Então, nós vamos dividir todo mundo por e aplicar o limite. Olha só:
Como , a gente pode jogar a segunda parte do denominador na mesma raiz:
Simplificando:
Agora substituindo no lugar do :
Sempre que a gente tiver um número dividido por , a gente pode dizer que essa divisão se aproxima muito de zero, tanto quanto quisermos, então podemos escrever:
E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉