Calcule o seguinte limite, sem usar a regra de L’Hôpital:

lim x → 7 ⁡ 2 - x - 3 x 2 - 49

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir o ponto do limite: lim x → 7 ⁡ 2 - x - 3 x 2 - 49 = 2 - 4 49 - 49 = 0 0

Ops! Temos uma indeterminação, então precisamos manipular nosso limite para chegar no resultado.

Passo 2

Vamos fatora o denominador, para deixar um pouco mais claro o que podemos fazer aqui: lim x → 7 ⁡ 2 - x - 3 x 2 - 49 = lim x → 7 ⁡ 2 - x - 3 x + 7 x - 7

Repare numa coisa agora. Veja que: 2 2 - x - 3 2 = - ( x - 7 )

Ou seja, se conseguimos escrever o numerador na forma a 2 - b 2 , cortaremos com o denominador. Como chegamos nessa forma? Multiplicando e dividindo pelo conjugado!

Passo 3

Como temos 2 - x - 3 , o conjugado será 2 + x - 3 , com o sinal trocado! Então vamos lá:

lim x → 7 ⁡ 2 - x - 3 x + 7 x - 7 = lim x → 7 ⁡ 2 - x - 3 x + 7 x - 7 ⋅ 2 + x - 3 2 + x - 3

Ficando:

lim x → 7 ⁡ 4 - x - 3 x + 7 x - 7 2 + x - 3 = lim x → 7 ⁡ - x - 7 x + 7 x - 7 2 + x - 3

Passo 4

Para finalizar, “cortamos” numerador e denominador e substituímos o ponto: … = lim x → 7 ⁡ - x - 7 x + 7 x - 7 2 + x - 3 = lim x → 7 ⁡ - 1 x + 7 2 + x - 3 = - 1 14 ⋅ 4 = - 1 56

Resposta

lim x → 7 ⁡ 2 - x - 3 x 2 - 49 = - 1 56

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