Calcule o limite ou justifique porque não existe:

b ) lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 5 x + 1

Passo 1

Temos dois polinômios de 2 º grau ali dentro das raízes, repara que

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 = ∞

E

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 5 x + 1 = ∞

Assim aquele nosso limite vai ser

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 5 x + 1 = ∞ - ∞

Para fugir dessa indeterminação que ficaria de ∞ - ∞ vamos racionalizar o termo todo.

Basicamente, vamos multiplicar em cima e em baixo por x 2 + 1 + x 2 - 5 x + 1 :

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 5 x + 1 x 2 + 1 + x 2 - 5 x + 1 x 2 + 1 + x 2 - 5 x + 1

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 + 5 x - 1 x 2 + 1 + x 2 - 5 x + 1

lim x → - ∞ ⁡ 5 x x 2 + 1 + x 2 - 5 x + 1

Ok, melhorou, mas agora o problema é - ∞ ∞ . Como sair? Repara que o grau do polinômio de cima é 1 e o de baixo é 2 dentro de uma raiz quadrada, ou seja, 1 !. Vamos botar x para fora em cima e em baixo:

lim x → - ∞ ⁡ 5 x x 2 + 1 + x 2 - 5 x + 1

= lim x → - ∞ ⁡   5 x x 2 1 + 1 x 2 + x 2 1 - 5 x + 1 x 2

Lembrando que quando temos x 2 , a resposta não é x ela vai ser x , então vamos ter

lim x → - ∞ ⁡ x x   5 1 + 1 x 2 + 1 - 5 x + 1 x 2

Putz, e esse módulo aí? Repara que x → - ∞ , assim o x é necessariamente negativo, então vamos ter

x = - x

O nosso limite vai ficar

lim x → - ∞ ⁡ x - x   5 1 + 1 x 2 + 1 - 5 x + 1 x 2 =

= lim x → - ∞ ⁡ - 5 1 + 1 x 2 + 1 - 5 x + 1 x 2

= - 5 1 + 1

= - 5 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 5 x + 1 = - 5 2

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