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Exercícios Resolvidos de Conservação da Energia Mecânica

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Enunciado

UnB – Física 1- Listas – Lista 12: Dinâmica do Movimento – Questão 7

Um pássaro de 500,0   g   está voando horizontalmente a 2,25   m / s , quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo a 25,0   c m   abaixo do topo (ver figura abaixo). A barra homogênea com 0,750   m   de comprimento e massa de 1,50   k g   está presa por uma dobradiça na sua base. A colisão atordoa o pássaro que cai ao chão em seguida. Qual é a velocidade angular da barra a) logo após ser atingida pelo pássaro e b) assim que atinge o solo?

Passo 1

Alôôô, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão?? 

Ebaa, é sim!! Vamos então…

Temos um passarinho que está voando horizontalmente. Em dado momento esse passarinho colide com uma barra vertical fixa. Essa batida foi tão forte que o coitadinho caiu no chão. Com essas informações e as do enunciado devemos calcular a velocidade angular da barra em dois momentos: primeiro logo após ser atingida pelo passarinho e depois que ela atinge o solo.

Vocês têm algum palpite de como começar essa questão??

Como essa questão envolve colisão com rotação, vamos primeiro calcular o momento angular que faz a barra girar.

Pela conservação do momento angular temos que

L i = L f

O momento angular inicial representa apenas o momento angular do pássaro antes desse colidir com a barra. Considerando o pássaro como uma partícula, seu momento angular inicial será:

L i = m r v s e n θ

Quando o passarinho toca seu bico na barra, o ângulo θ será de 90 ° .

Assim,

s e n   θ = 1

E o raio do movimento será o comprimento da barra menos 0,25   m . Já que o passarinho atingiu a barra há uma distância de 25   c m do seu topo.

r = L - 0,25

Logo, podemos afirmar que o momento angular inicial será dado por:

L i = m p a s s a r i n h o L - 0,25 v

Passo 2

Já o momento angular final que ocorre após a colisão será dado apenas pelo momento angular da barrinha. Uma vez que o passarinho após a colisão cai no chão. Como o passarinho cai no chão significa que sua velocidade angular é igual a zero.

Como a barra é um corpo rígido, seu momento angular final será:

L f = I ω

Agora precisamos saber o momento de inércia dessa barra ao redor da sua extremidade.

Que é dado pela fórmula:

I E n v .   d a   b a r r a = m b a r r a L ² 3

Logo, o momento angular final será:

L f = m b a r r a L 2 ω 3

Igualando os momentos angulares, encontramos que:

L i = L f

m p a s s a r i n h o L - 0,25 v = 1 3 m b a r r a L 2 ω

Isolando ω :

ω = 3 m p a s L - 0,25 v m b a r r a L ²

Substituindo os valores correspondentes,

ω = 3 ⋅ 0,5   k g ⋅ 0,75 - 0,25 m ⋅ 2,25   m / s ) 1,5   k g ⋅ ( 0,75 m ) ²

ω = 2   r a d / s

Passo 3

Agora precisamos encontrar a velocidade da barra quando ela atinge o solo. Vamos considerar que a barra seja um sistema que conserve a energia mecânica, ou seja, a princípio essa barra estará posicionada verticalmente com a velocidade de ω = 2   r a d / s e após um tempinho atingirá o solo.

Utilizando a conservação da energia mecânica podemos afirmar que:

E m i n i c i a l = E m f i n a l

E c i n i c i a l + E p i n i c i a l = E C f i n a l + E P f i n a l

Para calcularmos a energia cinética vamos utilizar a fórmula:

E C = I ω   ²   2

Já para calcularmos a energia potencial utilizaremos a seguinte fórmula:

E p = m b a r r a g h c m

Onde h c m representa o centro de massa. Como no início a barra estava na posição vertical, seu centro de massa estava a uma altura de L / 2 do solo.

Portanto,

h c m i n i c i a l = L 2

E como no final a barra estará deitada no solo, vamos considerar a altura do seu centro de massa como zero.

E c i n i c i a l + E p i n i c i a l = E C f i n a l + 0

I ω i n i c i a l ² 2 + m b a r r a g L 2 = I ω f i n a l ² 2

∴

m b a r r a L 2 ω i n i c i a l 2 3 + m b a r r a g L = m b a r r a L 2 ω f i n a l 2 3

Substituindo os valores correspondentes:

0,75 2 ⋅ 2 ² 3 + 0,75 ⋅ 9,8 = 0,75 ² ω f i n a l 2 3

ω f i n a l = 43,2

ω = 6,57   r a d / s

E aí pexuaaaal, deu pra entender tranquilo?? Show!

Bora treinar mais!

Resposta

a) ω = 2   r a d / s

b) ω = 6,57   r a d / s

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