UFSC, Sem Campus, Cálculo 1, Provas Profº Saeger - P3 2016.1, Questão 1
Calcule a derivada de
usando a definição de derivada.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente calcular a derivada de f(x) através da definição da função derivada, que vem a ser o seguinte limite:
Antes de calcularmos esse limite específico, precisamos introduzir a função gama , que é uma generalização da função fatorial para números além dos naturais. Em particular, essa função, semelhantemente a função fatorial, possui a seguinte propriedade que será útil:
Dito isso, voltamos ao cálculo do limite. Pela definição de derivada, temos que a derivada de f(x) é dada por
Agora, o que iremos fazer é: nós vamos expandir o primeiro termo do limite acima em uma expansão binomial. E como que a gente faz isso? Dá só uma olhada!
Passo 2
Se temos um binômio , podemos escrevê-lo como:
Então, podemos fazer a identificação com a função f(x) dada: e . Assim, podemos escrever a derivada como:
Como iremos tirar o limite de , temos que os termos de ordem superiores não serão relevantes, pois eles tenderão à zero muito rapidamente. Então, manteremos termos de até primeira ordem. Fazendo isso, abrindo o somatório, obtemos:
Temos que, o último termo é igual ao primeiro, com sinal trocado e, portanto, se cancelam. Então, o que nos sobra da expressão é
Onde as reticências indicam os termos com potências superiores de , que foram desprezados. Agora, utilizamos a propriedade mencionada anteriormente da função . Como , temos que
Então,
Assim, podemos escrever a derivada como:
Portanto, pela definição de derivada, temos que a derivada de f(x) é simplesmente