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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

PUC Rio; Cálculo 4; P2 de 2019.2

Questão 3: (Justifique todas as suas respostas)

  1. Decida se a equação abaixo é exata:

    2. y + 2 x + y e y y ' = 0

    Justifique todos os passos do seu argumento!

  2. Caso a equação não seja exata, utilize o fator integrante μ y = y para encontrar uma solução.

Passo 1

L e t r a   A :

Primeiro, vamos colocar a equação na forma clássica de equação exata:

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0

Para fazer isso, primeiro vamos substituir o y ' por d y / d x :

y + 2 x + y e y d y d x = 0   →

Multiplicando todo mundo por d x :

y d x + 2 x + y e y d y = 0

OPA! Chegamos à equação com o formato que queríamos:

M x ,   y = y                       e                           N x ,   y = 2 x + y e y

Agora vamos verificar se ela é exata ou não!

Passo 2

Para ser exata, isso aqui tem que ser verdade:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Então substituindo e derivando...

∂ ∂ y y = ∂ ∂ x 2 x + y e y     →

1 = 2  

ORA! 2 é igual 1 ? Fiz alguma coisa errada?

NÃO! Isso apenas significa que a condição de EDO exata não é satisfeita e, portanto, a nossa EDO não é exata.

Passo 3

L e t r a   B :

A EDO pode não ser exata, mas o problema nos deu um fator integrante μ y = y e pediu para com ele resolver a EDO. Ora, de acordo com a teoria, se uma EDO não é exata podemos multiplica-la por um determinado μ (que no caso é y ) que ela se tornará exata! Vamos ver se isso é verdade:

y d x + 2 x + y e y d y = 0     →

μ y y d x + 2 x + y e y d y = 0   →

y y d x + 2 x + y e y d y = 0   →

y 2 d x + 2 x y + y 2 e y d y

Veja que chegamos à outra EDO análoga à primeira. Mas que...

M x ,   y = y 2                 e                         N x ,   y = 2 x y + y 2 e y

Será que essa é exata? Vamos ver se é verdade:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Então substituindo e derivando...

∂ ∂ y y 2 = ∂ ∂ x 2 x y + y 2 e y     →

2 y = 2 y

RA!!! De fato essa Edo é exata e, portanto, agora podemos resolvê-la .

Passo 4

Para resolver uma EDO exata a primeira coisa que você tem que ter em mente é que a solução u é a equação:

u x ,   y = ∫ M x ,   y d x + H y

Onde esse H y é uma função que devemos encontrar depois da integração. Então, substituindo o M aqui:

u x ,   y = ∫ y 2 d x + H y

Bem, a integral de y em x , tens que considerar y como uma constante e integrar normal:

u x ,   y = y 2 ∫ d x + H y →

u x ,   y = y 2 x + H y

Perceba que não precisa colocar a constante de integração aí.

Passo 5

Agora temos que buscar o H y . Para isso, vamos pegar a solução e derivar com relação a y :

u x ,   y = y 2 x + H y     →

∂ ∂ y u x ,   y = ∂ ∂ y y 2 x + ∂ ∂ y H y

Ora, a primeira derivada é tranquila...

∂ ∂ y u x ,   y = 2 y x + ∂ ∂ y H y

Já em relação à derivada do H y , como H não depende de x , trata-se de uma derivada simples (e não parcial):

∂ ∂ y u x ,   y = 2 y x + H ' y

Igualando essa derivada à N x ,   y (sim, o mesmo N do passo 3):

N x ,   y = 2 y x + H ' y       →

2 x y + y 2 e y = 2 y x + H ' y       →

H ' y = y 2 e y

Logo, a função H que temos que encontrar é a integral desse cara aí:

H y = ∫ y 2 e y   d y

Passo 6

Podemos resolver essa integral usando integração por partes:

u = y 2                                   d v = e y d y  

d u = 2 y   d y                                   v = e y  

Então...

∫ y 2 e y   d y = y 2 e y - ∫ 2 y e y   d y

Integrando novamente usando integração por partes nessa integral dos colchetes...

u = 2 y                           d v = e y d y

d u = 2 d y                                   v = e y

Ou seja...

∫ y 2 e y   d y = y 2 e y - 2 y e y - ∫ 2 e y   d y

∫ y 2 e y   d y = y 2 e y - 2 y e y - 2 e y

∫ y 2 e y   d y = y 2 e y - 2 y e y + 2 e y

Passo 7

A solução então será igualando u x ,   y a uma constante k :

u x ,   y = y 2 x + H y = k   →

y 2 x + y 2 e y - 2 y e y + 2 e y = k

Resposta

Letra A: Não é exata.

Letra B:

y 2 x + y 2 e y - 2 y e y + 2 e y = k

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