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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 2c

Resolva as equações diferenciais:

c )   x - x 3 y ' + 2 x 2 - 1 y - a x 3 = 0 ,   a ≠ 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

x - x 3 y ' + 2 x 2 - 1 y - a x 3 = 0  

y ' + 2 x 2 - 1 x - x 3   y = a x 3 x - x 3

y ' + 2 x 2 - 1 x - x 3   y = a x 2 1 - x 2

Você tasca o olho nessa equação e percebe que ela pode ser escrita como y ' + P x y = Q ( x )

E aí você logo lembra: Fator integrante! E é isso mesmo!

São duas as pistas que te ajudam a identificar que vamos usar esse método:

  • é que tem um y ali dando sopa!
  • Todos os coeficientes ou são constantes, ou dependem apenas de x !

Nosso fator integrando vai ser

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução y

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Beleza? Agora é só identificar no nosso problema, integrar e #partiu achar solução!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa edo é

y ' + 2 x 2 - 1 x - x 3   y = a x 2 1 - x 2

Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = 2 x 2 - 1 x - x 3 ; Q x = a x 2 1 - x 2

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 2 x 2 - 1 x - x 3 d x

Para essa integral vamos separar em frações parciais

2 x 2 - 1 x - x 3 = - 1 x - 1 2 x + 1 - 1 2 ( x - 1 )

Aí temos

μ = e ∫ - 1 x - 1 2 x + 1 - 1 2 x - 1 d x = e ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1 1 2 + ln ⁡ x - 1 1 2

μ = 1 x . x + 1 . x - 1 = x + 1 x - 1 x

μ = x 2 - 1 x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução!

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . x 2 - 1 x = ∫ x 2 - 1 x . a x 2 1 - x 2 d x

y . x 2 - 1 x = - a ∫ x x 2 - 1   d x

Tudo bem até aqui? Agora é só integrar!

y . x 2 - 1 x = - a x 2 - 1 + C

Aí nossa solução fica assim

y x = a x + C x 1 - x 2

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = a x + C x 1 - x 2

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