Seja F   :   R   →   R uma função derivável. Sabendo que F ( 3 ) = − 1 e que ∫ 0 3 F ( x ) d x   =   0 , determine o valor de ∫ 0 3 x   F ' ( x ) d x .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ 0 3 x   F ' ( x ) d x

Sabendo que F ( 3 ) = − 1 e que ∫ 0 3 F ( x ) d x   =   0 . Vamos fazer isso utilizando o método de integração por partes.

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral

∫ 0 3 x   F ' ( x ) d x

utilizando o método de integração por partes ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u , sendo u = x e d v = F ' ( x ) d x . Temos que

d u = d x

Temos também que

v = F ( x ) .

Então, voltando para a integral

∫ 0 3 x   F ' ( x ) d x = ( x   F ( x ) ) | 3 0 - ∫ 0 3 F ( x ) d x .

Passo 3

Utilizando as informações F ( 3 ) = − 1 e ∫ 0 3 F ( x ) d x   =   0 , temos que

∫ 0 3 x   F ' ( x ) d x = ( x   F ( x ) ) | 3 0 - ∫ 0 3 F ( x ) d x = 3   F ( 3 ) - ∫ 0 3 F ( x ) d x

Assim,

∫ 0 3 x   F ' ( x ) d x = - 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 3 x   F ' ( x ) d x = - 3 .

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