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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 5.15

Sejam a ≠   0 um número real fixado e   g :   R   →   R uma função derivável. Sabendo que g ( 0 )   =   0 e g ( 1 )   = π 2   a , determine o valor de ∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x

Sabendo que g ( 0 ) = 0 e g ( 1 )   = π 2   a . Vamos fazer isso utilizando o método de integração por substituição simples.

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral

∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x

utilizando o método de integração por substituição simples, sendo u = s i n ( a   g ( x ) ) . Temos que

d u = c o s ( a   g ( x ) )   a   g ′ ( x )   d x .

Então, voltando para a integral

∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x = 7 a ∫ x = 0 1 1 1   +   u 2 d u .

Passo 3

Termos que ∫ 1 1   +   u 2 d u = a r c t a n ( u ) , então

7 a ∫ x = 0 1 1 1   +   u 2 d u = 7 a a r c t a n ( s i n ( a   g ( x ) ) ) | 0 1 = 7 a [ a r c t a n ( s i n ( a   g ( 1 ) ) ) - a r c t a n ( s i n ( a   g ( 0 ) ) ) ]

Assim, sabendo que g ( 0 ) = 0 e g ( 1 )   = π 2   a

∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x = 7 a [ a r c t a n ( s i n ( π 2   ) ) - a r c t a n ( s i n ( 0 ) ) ]

∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x = 7 a [ a r c t a n ( 1 ) - a r c t a n ( 0 ) ] = 7 a [ π 4 - 0 ]

∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x = 7 a π 4 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 1 g ′ ( x ) 7   c o s ( a g ( x ) ) 1   +   s i n 2 ( a g ( x ) ) d x = 7 a π 4 .

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