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Exercícios Resolvidos de Equação Não Exata - Fator Integrante

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Enunciado

Teste 4: Considere a equação

y 2 + 1 d x + x y 3 + 3 y d y = 0

E as afirmações:

  1. A equação é exata
  2. A equação admite um fator integrante μ = μ y .
  3. A equação possui um fator integrante μ = μ y e a função F x ,   y = x y 2 + 1 e y 2 2 é um potencial correspondente.

São verdadeiras:

  1. Apenas I .
  2. Apenas I I e I I I .
  3. Todas.
  4. Nenhuma.
  5. Apenas I I .

Passo 1

Primeiro vamos verificar se a EDO é exata ou não:

y 2 + 1 d x + x y 3 + 3 y d y = 0   →

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0   →

Pra ser exata:

M y = N x

Como...

M y = 2 y

E

N x = y 3 + 3 y

Podemos ver que não são exatas!

Passo 2

Vamos ver se ela é redutível à exata então procurando o fator integrante:

f y = N x - M y M = y 3 + 3 y - 2 y y 2 + 1 =

y 3 + y y 2 + 1 = y y 2 + 1 y 2 + 1 = y

Como essa é uma função só de y de fato, então ela é redutível à exata! O fator integrante será...

μ y = e ∫ y d y = e y 2 2

Passo 3

Já sabemos então que o item 2 é verdadeiro. Para verificar o terceiro, vamos terminar a EDO, e para isso vamos multiplica-la pelo fator integrante...

e y 2 2 y 2 + 1 d x + e y 2 2 x y 3 + 3 y d y = 0

Integrando esse novo M com relação à x ...

u x ,   y = ∫ e y 2 2 y 2 + 1   d x =

e y 2 2 y 2 + 1 x + K y

Essa constante que depende de y é só porque integramos uma função de duas variáveis. Podemos encontra-la derivando com relação a y ...

u y = e y 2 2 y 2 + 1 x y + e y 2 2 2 y x + K ' y

u y = e y 2 2 x y y 2 + 1 + 2 y + K ' y

u y = e y 2 2 x y 3 + 3 y + K ' y

Comparando com o N y ...

K ' y = 0 →

K y = k

Então a solução geral é:

u x ,   y = e y 2 2 y 2 + 1 x + k

Portanto a afirmação é verdadeira, basta tomar o k como 0 .

Resposta

b )   A p e n a s   I I   e   I I I

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