Verifique se a equação dada é exata. Em caso negativo, encontre o fator integrante que transforma a equação dada em uma equação exata. Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Vamos começar deixando na forma da equação exata. Temos que
Então, vamos ter a equação
Multiplicando tudo por
Legal, então temos uma equação na forma da equação exata:
Passo 2
Beleza, deixamos na forma da equação exata, vamos verificar agora se é mesmo uma equação exata. Segundo o critério de Euler, a equação é exata se
Então vamos determinar essas derivadas:
Isso significa que
E, portanto, não temos uma equação exata aqui ☹.
Passo 3
Beleza, levanta a cabeça. Já que não temos uma equação exata, vamos então calcular o fator integrante. Temos dois candidatos. O primeiro será
Para adotarmos esse candidato, e determinarmos o fator integrante a partir dele, deve ser constante ou uma função apenas de . Vamos ver como fica essa expressão então. A partir do que já calculamos, temos
Podemos até tentar simplificar essa expressão, mas já dá para ver que não será uma função apenas de . Assim, vamos tentar o segundo candidato. Se tivermos
função apenas de , então esse será nosso candidato a fator integrante. Substituindo
Opa, essa é uma função apenas de , então esse será nosso candidato a fator integrante, mas cuidado, não é o fator integrante propriamente dito. Ele será dado por
Passo 4
Beleza, determinado o fator integrante e assumindo , vamos ter . Agora, multiplicando na equação principal
Vamos verificar agora se é exata. Para isso, derivamos novamente
OPaaaAAAaaaa! Deu igual. Então temos agora uma equação exata.
Passo 5
Legal, então se a equação é a exata, a solução será dada implicitamente na forma
Substituindo os valores, vamos encontrar
Como estamos integrando uma função de e em relação a vai aparecer uma função de (como se fosse a constante) ao final da integral.
Não podemos deixar a resposta assim, precisamos encontrar essa expressão.
Passo 6
Para encontrar , usamos que
Assim, substituindo o que encontramos antes, temos
Comparando,
Agora, para encontrar a expressão de , vamos integrar
Deixando assim sem a constante mesmo.
Passo 7
Bem, agora já podemos escrever a solução geral do problema
Passo 8
Acabou? Não, temos uma condição inicial
Então dá para encontrar o valor daquela constante . Substituindo o valor, temos
Então, a nossa solução final vai ser