Uma carga pontual positiva q está posicionada a uma distância d da ponta de um bastão de comprimento L com carga positiva Q uniformemente distribuída ao longo de toda sua extensão, conforme mostrado na figura abaixo. Calcule o módulo da força de repulsão exercida sobre a carga q .

Passo 1

E aí galerinha do bem, como é que vocês estão?

Nessa questão temos um bastão de comprimento L e com uma carga Q uniformemente distribuída, próximo a uma carguinha pontual q , igual mostrado na imagem.

Queremos calcular o módulo da força de repulsão que o bastão exerce na carga q .

O grande problema aqui é que o bastão é um corpo extenso, então a sua distância até a carga pontual está mudando. E aí, qual a distância que a gente coloca pra calcular a força?

Então galera, quando a distância fica variando dessa forma é interessante dividirmos o nosso corpo extenso em vários elementos pequeninhos de carga d Q . Daí, nós podemos calcular a força d F que cada um desses elementos exerce na carga pontual e depois é só integrar!!!

Sacaram? Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar calculando a força d F .  

Vamos considerar um elemento de carga d Q que está posicionado a uma distância l da extremidade do bastão mais próxima da carga q . Assim, pela lei de Coulomb, vale que:

d F = K q d Q d + l 2

Massa! Mas, como a carga está uniformemente distribuída, podemos dizer que:

Q L = d Q d l

∴ d Q = Q L d l

Substituindo:

d F = K q Q L d + l 2 d l

Agora é só integrar dos dois lados, com l variando de 0 até L . Temos:

∫ d F = ∫ 0 L K q Q L d + l 2 d l

∴ F = ∫ 0 L K q Q L d + l 2 d l  

Nossa missão se resumiu a calcular essa integral 😊

Passo 3

Temos a integral:

∫ 0 L K q Q L d + l 2 d l

Fazendo a seguinte mudança de variável:

h = d + l

temos:

d h = d l

Ajeitando os limites de integração e substituindo na integral vem que:

∫ d d + L K q Q L h 2 d h

= K q Q L ⋅ ∫ d d + L 1 h 2 d h

= K q Q L ⋅ - h - 1 d d + L

Logo:

F = K Q q L ⋅ 1 d - 1 d + L  

= K Q q L ⋅ L d d + L

Portanto, a força exercida sobre a carga pontual q vale:

F = K Q q d d + L

Aeeeee! Matamos mais uma questão!

Curtiram? Responde Aí!

Resposta

F = K Q q d d + L

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