Um fio infinito com densidade linear de carga positiva λ está posicionado a uma distância d da ponta de um bastão de comprimento L com carga positiva Q uniformemente distribuída ao longo de toda sua extensão, conforme mostrado na figura abaixo. Calcule o módulo da força de repulsão exercida sobre o bastão.

Passo 1

Oii gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um problema bem interessante!! Um fio de comprimento infinito é colocado a uma distância d da ponta de um bastão. Sendo assim, o fio exerce uma força elétrica no bastão, e vice-versa.

Precisamos calcular o módulo da força elétrica resultante no bastão.

“Puts, mas a distância entre o fio e o bastão está variando...Além disso, qual o campo elétrico causado pelo fio? Como calculamos tudo isso? Socoorroo”

Calminha pessoal! Vamos por partes!!

Primeiro, pra calcular o campo elétrico do fio de comprimento infinito podemos usar a lei de Gauss. Segundo ela:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

E, depois que calcularmos o campo, podemos dividir o bastão em vários pedacinhos de tamanho d Q e calculamos a força que o fio faz em cada um desses pedacinhos e depois integramos. Tranquilo?

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar calculando o campo realizado pelo fio.

Traçando uma superfície gaussiana cilíndrica com raio da tampa h e comprimento L , temos:

Daí, pela simetria do fio infinito, o campo aponta sempre na vertical. Por isso, o produto escalar:

E → ⋅ d A →

será nulo nas tampas do cilindro, pois aí os vetores serão perpendiculares.

Logo, pela lei de Gauss precisamos considerar apenas a superfície lateral do cilindro. Daí:

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Como o fio é infinito na horizontal, o campo deve depender apenas da altura até o fio. Então, ele não varia na superfície lateral e podemos colocá-lo para fora na integral:

E → ⋅ ∫ d A → = q i n t ε 0

Integrando todos os elementos d A → da superfície lateral do cilindro, temos justamente a área lateral do cilindro, que vale:

A = 2 π h ⋅ L

Já quanto à carga interna à superfície gaussiana cilíndrica, como a densidade linear vale λ , temos:

q i n t = λ ⋅ L

Daí, substituindo na equação principal:

E ⋅ 2 π h L = λ L ε 0

∴ E = 1 2 π ε 0 ⋅ λ h

Massa! Conseguimos calcular o módulo do campo elétrico e sabemos que ele aponta sempre pra cima na região acima do fio.

Passo 3

Agora que já temos o campo, podemos considerar que a força elétrica em um elemento d l em uma posição de altura l a partir da extremidade inferior do bastão do bastão vale:

d F = 1 2 π ε 0 ⋅ λ h ⋅ d Q

Mas:

h = d + l

E, considerando a carga uniformemente distribuída no bastão, temos também que:

Q L = d Q d l

∴ d Q = Q L d l

Assim:

d F = 1 2 π ε 0 ⋅ λ d + l ⋅ Q L d l  

Agora sim!! Integrando de l = 0 até l = L , vemo:

F = ∫ 0 L λ Q 2 π ε 0 L ⋅ d l d + l

= λ Q 2 π ε 0 L ⋅ ∫ 0 L 1 d + l d l  

Fazendo:

h = d + l

temos:

d h = d l

Ajeitando também os limites de integração, ficamos com a seguinte expressão para F :

F = λ Q 2 π ε 0 L ⋅ ∫ d d + L 1 h d h

= λ Q 2 π ε 0 L ⋅ ln ⁡ h d d + L

Logo:

F = λ Q 2 π ε 0 L ⋅ ln ⁡ d + L - ln ⁡ d

E é issooo!! Esse é o módulo da força resultante que o fio faz no bastão!

Bem legal né? Valeu pessoal!! Até a próxima 😉

Resposta

F = λ Q 2 π ε 0 L ⋅ ln ⁡ d + L - ln ⁡ d

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