Um fio portador de corrente I está com a forma de uma semicircunferência de raio R, que está no plano x y . Há um campo magnético uniforme B   =   B k ^ , perpendicular ao plano da espira, conforme a figura ao lado. Calcule a força que atua sobre a espira.

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Bora resolver essa questão?

A ideia aqui é calcular qual a contribuição da força em cada pedacinho de fio, que esse campo magnético vai fazer! Vamos olhar com carinho a figura

z , apontando para fora do plano da página, a força está na direção radial

Podemos integrar o elemento de força d F atuando sobre um elemento de comprimento d l entre θ   =   0 e π para encontrar a força atuando sobre a porção semicircular do laço e usar a expressão para a força sobre um fio portador de corrente em um campo magnético uniforme para encontrar a força sobre o segmento reto do laço.

Assim a força total vai ser a soma das duas partes:

F → =   F → l a ç o   s e m i c i c u l a r +   F → s e g m e n t o r e t o

Mas você lembra como encontrar essa força?

Se o caminho for constante (no caso do fio reto)

F → = I l → × B →

Agora quando o fio é curvo, precisamos integrar!

F → = ∫ I d l → × B →

Então é isso! A ideia aqui é aplicar essas fórmulas para cada situação (usando e abusando da simetria no fio circular) e somar as contribuições!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar pelo fio curvo! Dá uma olhada com carinho nessa figura aqui

Certo! Temos que expressar a força d F atuando no fio de comprimento d l :

d F = I d l B = I R B d θ

Expressando agora as componentes x e y de d F

d F x = d F cos ⁡ θ

d F y = d F sin ⁡ θ

x vai zerar?

Assim nossa única componente é F y : d F y = I R B sin ⁡ θ   d θ

F → l a ç o   s e m i c i c u l a r = F y j ^ = R I B   ∫ 0 π sin ⁡ θ d θ   j ^

Resolvendo, temos

F → l a ç o   s e m i c i c u l a r = R I B - cos ⁡ θ 0 π = 2 R I B j ^

Assim a força magnética nessa parte circular do fio aponta para cima! Tranquilo? Vamos para o cálculo da parte reta!

Passo 3

Agora expressando a força atuando no laço do segmento reto, temos:

F → s e g m e n t o r e t o =   I l → × B → = 2 R I i ^ × B k ^

Como o comprimento está sempre na mesma direção do campo, tudo é constante e podemos apenas calcular!

F → s e g m e n t o r e t o = 2 R I B i ^ × k ^ =   - 2 R I B j ^

Beleza? Agora só falta somar as duas parcelas da força!

Passo 4

Agora nossa missão é somar as duas contribuições:

F → c i r c = - 2 R I B j ^

F → r e t o = 2 R I B j ^

Gente, eles tem módulos iguais!

assim a força total é zero!

F → = - 2 R I B j ^ + 2 R I B j ^ = 0

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

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