Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule as integrais abaixo:

(b) ∫ 0 2 x ln ⁡ 2 x d x

Passo 1

Entender a pegadinha e identificar o método de integração a se usar

Essa questão tem uma pegadinha exatamente nos limites de integração. Me diz, você já viu algo divido por 0? Não né? Pois bem, como isso é uma indefinição, pra conseguirmos calcular essa integral vamos mudar ela um pouco:

∫ 0 2 x ln ⁡ 2 x d x = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 x ln ⁡ 2 x d x

Tranquilo, agora não temos mais uma indefinição. Mas resolver essa integral ainda parece complicado. Não tem jeito, é tentar os métodos de integração que a gente conhece.

Aquele x multiplicando, no entanto, tem cara de algo que sumiria se integrássemos por partes:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Passo 2

Realizar a integração indefinida por partes

Se escolhermos

u = ln ⁡ 2 x → d u = - 1 x d x

d v = x d x → v = x 2 2

Ficamos com:

∫ x ln ⁡ 2 x d x =   ∫ u   d v =   x 2 2 ln ⁡ 2 x -   ∫ x 2 2   - 1 x d x

∫ x ln ⁡ 2 x d x =   x 2 2 ln ⁡ 2 x +   ∫ x 2   d x

∫ x ln ⁡ 2 x d x =   x 2 2 ln ⁡ 2 x + x 2 4  

E tcharaan, achamos o resultado da integral. Vai faltar só aplicar os limites de integração

Passo 3

Aplicar os limites de integração:

A integral com os limites era essa aqui:

∫ t 2 x ln ⁡ 2 x d x

Se já sabemos qual o resultado da integral definida, partimos direto então pra:

∫ t 2 x ln ⁡ 2 x d x =   x 2 2 ln ⁡ 2 x + x 2 4 x = t x = 2

=   2 2 2 ln ⁡ 2 2 + 2 2 4 -   t 2 2 ln ⁡ 2 t - t 2 4

=   1 -   t 2 2 ln ⁡ 2 t - t 2 4

E agora, aplicando o limite:

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 x ln ⁡ 2 x d x =   lim t → 0 + ⁡ 1 -   t 2 2 ln ⁡ 2 t - t 2 4

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 x ln ⁡ 2 x d x = 1 -   lim t → 0 + ⁡   t 2 2 ln ⁡ 2 t - t 2 4

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 x ln ⁡ 2 x d x = 1 -   0 . ∞ - 0

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 2 x ln ⁡ 2 x d x = 1

Resposta

∫ 0 2 x ln ⁡ 2 x d x = 1

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