UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P4 – Exercício 9
Seja . Considere as seguintes integrais:
É correto afirmar que:
a) A integral em (i) converge e a convergência da integral em (ii) depende do valor de .
b) Ambas as integrais divergem.
c) Apenas a integral em (ii) converge.
d) Ambas as integrais convergem.
e) Apenas a integral em (i) converge.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Nesse problema temos que avaliar duas integrais impróprias. Vamos olhar inicialmente para a integral (i):
Vamos usar o teste da comparação! Primeiro escrevemos
Assim,
Com isso, vamos olhar para a seguinte integral:
A integral dentro do limite é fácil de ser calculada:
Logo,
Como o limite explode para , vemos que essa integral diverge.
Passo 2
Mas pera aí, não essa integral que queremos avaliar. Queremos avaliar
Aqui que vai entrar o teste da comparação: se e a integral imprópria de diverge, então a integral de também diverge. Nesse caso, vimos que
Desta forma, como a integral de diverge, a integral em (i) também vai divergir!
Passo 3
Agora vamos olhar para a segunda integral imprópria do problema:
Para fazer a integral dentro do limite, escrevemos
Assim,
Agora, fazemos uma mudança de variável , com
Além disso, quando , temos . Já para , . Desta forma, podemos escrever
Como , segue que , de modo que essa integral pode ser calculada facilmente:
Logo,
Sabemos que para :
Assim,
Desta forma, vemos que a integral (ii) converge para qualquer valor de . Com isso, a alternativa correta é a C 😉.
Resposta
Alternativa C.