Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Resolva a integral:

∫ 2 6 x x - 2 d x

Passo 1

Apesar de não parecer de cara, a integral acima é uma integral imprópria!! Pois repare que o domínio do integrando x x - 2 é o conjunto pertencente a R , tal que x ∈ ( 2 ; ∞ ) , esse integrando é descontínuo. Então devemos escrever:

∫ 2 6 x x - 2 d x = lim t → 2 + ⁡ ∫ t 6 x x - 2 d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral indefinida:

∫ x x - 2 d x

Utilizando a substituição u = x - 2 , vamos ter:

∫ x x - 2 d x = ∫ u + 2 u d u = ∫ u 1 2   d u + ∫ 2 u - 1 2

E resolvendo a integral:

∫ u + 2 u d u = u 3 2 3 2 + 2 u 1 2 1 2 + C = 2 u 3 2 3 + 4 u 1 2 + C

E voltando pra variável x :

∫ x x - 2 d x = 2 ( x - 2 ) 3 2 3 + 4 ( x - 2 ) 1 2 + C

Passo 3

Voltando agora pra integral imprópria, vamos ver que:

lim t → 2 + ⁡ ∫ t 6 x x - 2 d x = lim t → 2 + ⁡ 2 6 - 2 3 2 3 + 4 6 - 2 1 2 - 2 t - 2 3 2 3 + 4 t - 2 1 2

E resolvendo todas essas contas aí em cima vamos chegar num resultado que é um número real!! Ou seja, a integral é convergente!

Resposta

∫ 2 6 x x - 2 d x = 40 3

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