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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule as integrais:

∫ 1 2 x x - 1   d x

Passo 1

Bem, olha, vamos com calma. Primeiro a gente resolve de forma indefinida, depois aplica os limites de integração. Nota o seguinte galera, o denominador e o numerador são polinômios de mesma ordem. Logo, se fizermos uma substituição simples:

u = x - 1

Teremos:

x = 1 → u = 0

x = 2 → u = 1

E também teremos:

x = u + 1

d u = d x

O que mudaria nossa integral para:

∫ 1 2 x x - 1   d x = ∫ 0 1 u + 1 u   d u

E de forma indefinida para u , teremos:

∫ x x - 1   d x = ∫ u + 1 u d u = ∫ u u d u + ∫ 1 u d u

Continuando a manipulação:

∫ u u d u + ∫ 1 u d u = ∫ u u u d u + ∫ 1 u 1 2 d u = ∫ u   d u + ∫ u - 1 2 d u = ∫ u 1 2   d u + ∫ u - 1 2 d u

Integrando, teremos:

∫ u 1 2   d u + ∫ u - 1 2 d u = 2 u 3 2 3 + 2 u 1 2

Passo 2

Bora galera, ta acabando! Agora aplicamos os limites de integração:

∫ 0 1 u + 1 u   d u

Mas opa! Calma lá! x = 0 é um ponto de descontinuidade dessa função e ele é um dos limites de integração! A forma correta de calcularmos esse cara então é fazermos:

∫ 0 1 u + 1 u   d u = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 u + 1 u   d x

Agora sim! Como sabemos o resultado da integral, vamos ter:

lim t → 1 + ⁡ ∫ t 1 u + 1 u   d x = lim t → 0 + ⁡ 2 u 3 2 3 + 2 u 1 2 x = t x = 1

lim t → 1 + ⁡ ∫ t 1 u + 1 u   d x = lim t → 0 + ⁡ 2 3 + 2 - 2 t 3 2 3 + 2 t 1 2 = 2 3 + 2 = 8 3

Opa, achamos um número! E se:

∫ 1 2 x x - 1   d x = ∫ 0 1 u + 1 u   d u

∫ 0 1 u + 1 u   d u = 8 3

Temos então que a integral converge!

∫ 1 2 x x - 1   d x = 8 3

Resposta

∫ 1 2 x x - 1   d x = 8 3

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