UNICAMP – Sem campus – Cálculo II – P3 – 2022.1 6º Noturno – 4
Avalie a convergência da integral impropria:
Passo 1
Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos pra cima dessa questão! Primeira coisa que a gente tem que entender pra resolver ela é sobre a função que a gente tá integrando. Ela é descontínua em . Por isso que ela é imprória: dentro do intervalo dos limites de integração, a função apresenta descontinuidade. Vamos analisar as integrais bem em cima da descontinuidade com essas duas novas integrais:
e
Vamos começar analisando a primeira.
Passo 2
Bora lá! Olha o que a definição de integral impropria diz:
Tal que representa um ponto de descontinuidade. Temos então:
Aplicando pra nossa questão:
Para todo , fazendo a substituição obtemos que . Logo:
Passo 3
Agora vamos aplicar o limite:
Aplicando:
Logo, a integral diverge (pois o limite não é um número real definido). E por definição, se a integral que fez metade do caminho na descontinuidade diverge, então a integral principal também diverge! E é isso, folks! Bons estudos e até a próxima!