Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Determine se a integral abaixo é divergente ou convergente e calcule o valor caso seja convergente:

  ∫ 1 4 - ln ⁡ x x 2 - 4 x + 4   d x

Passo 1

Bom, aparentemente, temos uma integral definida para calcular. Você tem que ficar atento e ver se a função não tem uma descontinuidade infinita, porque, se tiver, então ela é imprópria e não pode ser calculada diretamente como uma integral definida.

Nesse problema mais especificamente, o enunciado já te dá a dica, porque ele não pede para você calcular a integral. Ele pede para você dizer se ela é convergente ou divergente. Então fica meio que na cara que essa integral aí é imprópria.

Se reescrevermos a integral da forma:

  ∫ 1 4 - ln ⁡ x x 2 - 4 x + 4   d x = ∫ 1 4 - ln ⁡ x x - 2 2   d x

Dá pra sacar que o x não pode ser 2 , senão ficamos com ln ⁡ x 0 e vai dar ruim. Claro que x também não poderia ser 0 . Mas se você observar, o intervalo de integração vai de 1 a 4 , ou seja, 0 não está dentro desse intervalo. Isso significa que você não precisa se preocupar com ele. Lembre-se que você tem que se preocupar com descontinuidades em pontos dentro do intervalo de integração, beleza?

Vamos calcular o limite da função quando x → 2 para garantir que a descontinuidade que ela tem nesse ponto é infinita?

lim x → 2 ⁡ - ln ⁡ x x 2 - 4 x + 4

Fazendo L’Hospital, ficamos com:

lim x → 2 ⁡ - 1 x 2 x - 4 =   lim x → 2 ⁡ - 1 2 x 2 - 4 x = - 1 2.2 2 - 4.2 = - 1 8 - 8 = - 1 0 = - ∞

Ok. Tenho uma descontinuidade infinita em x = 2 . Então trata-se de um caso de integral imprópria com integrando descontínuo.

Nesse caso, a descontinuidade está em x = 2 , que está dentro do intervalo [ 1,4 ] . Sendo assim é conveniente a gente escrever a integral dessa forma:

∫ 1 4 - ln ⁡ x x - 2 2   d x = ∫ 1 2 - ln ⁡ x x - 2 2   d x + ∫ 2 4 - ln ⁡ x x - 2 2   d x

Passo 2

Bem, como não podemos integrar diretamente, porque em x = 2 da problema, substituímos esse limite de integração por r e calculamos o limite quando r tende a esse valor pela direita e pela esquerda.

∫ 1 4 - ln ⁡ x x - 2 2   d x = lim r → 2 - ⁡ ∫ 1 r - ln ⁡ x x - 2 2   d x + lim r → 2 + ⁡ ∫ r 4 - ln ⁡ x x - 2 2   d x

O limite pela esquerda é o da primeira integral porque o intervalo 1,2 está a esquerda de x = 2 e a segunda integral leva o limite pela direita porque o intervalo 2,4 está a esquerda de x = 2 , beleza?

Para resolver, achamos a integral indefinida e depois substituímos os limites de integração. Essa integral parece um pouco complicada, mas fazendo integração por partes, tiramos de letra, quer ver?

u = ln ⁡ x → d u = d x x

- 1 x - 2 2 d x = d v →   v = 1 x - 2

Se

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Então:

∫ - ln ⁡ x x - 2 2   d x = ln ⁡ x x - 2 - ∫ 1 x - 2 ∙ 1 x   d x

A segunda integral a gente tira por frações parciais, saca só:

1 x - 2 ∙ 1 x = A x - 2 + B x = A x + B x - 2 B x x - 2

A + B x + - 2 B x x - 2 = 0 x + 1 x x - 2

Então ficamos com o seguinte sistema de equações:

A + B = 0 - 2 B = 1

O que nos leva à:

A = 1 2 B = - 1 2

E então:

∫ 1 x - 2 ∙ 1 x   d x = ∫ A x - 2 + B x   d x = ∫ 1 2 1 x - 2 - 1 x   d x

∫ 1 2 1 x - 2 - 1 x   d x = 1 2 ∫ 1 x - 2   d x - ∫ 1 x   d x = 1 2 ln ⁡ x - 2 - ln ⁡ x

E a integral imprópria fica:

∫ - ln ⁡ x x - 2 2   d x = ln ⁡ x x - 2 - 1 2 ln ⁡ x - 2 + 1 2 ln ⁡ x

Passo 3

Aplicando os limites, vamos ter, pra primeira integral:

lim r → 2 - ⁡ ∫ 1 r - ln ⁡ x x - 2 2   d x = lim r → 2 - ⁡ ln ⁡ x x - 2 - 1 2 ln ⁡ x - 2 + 1 2 ln ⁡ x x = 1 x = r

lim r → 2 - ⁡ ln ⁡ r r - 2 - 1 2 ln ⁡ r - 2 + 1 2 ln ⁡ r - ln ⁡ 1 1 - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 - 2 - 1 2 ln ⁡ 1

No limite inferior, vamos acabar tendo sempre um ln ⁡ 1 multiplicado por alguma coisa. Como esse logaritmo é igual à 0 , nos sobra:

lim r → 2 - ⁡ ln ⁡ r r - 2 - 1 2 ln ⁡ r - 2 + 1 2 ln ⁡ r

E se olharmos bem, esse limite vai pro infinito! Veja só, o limite acima e o abaixo são a mesma coisa:

lim r → 2 - ⁡ ln ⁡ r r - 2 - 1 2 ln ⁡ r - 2 + lim r → 2 - ⁡ ln ⁡ r 2

O único limite ai que tem um resultado é o último. Vamos ter que esse limite vai ser:

- ∞ + ln ⁡ 2 2 = - ∞

Só isso já é o suficiente galera! Se essa integral diverge, não tem como

lim r → 2 + ⁡ ∫ r 4 - ln ⁡ x x - 2 2   d x

Que faltou calcular, convergir. Mas, calculando mesmo assim só pra n deixar sem fazer:

lim r → 2 + ⁡ ∫ 1 r - ln ⁡ x x - 2 2   d x = lim r → 2 + ⁡ ln ⁡ x x - 2 - 1 2 ln ⁡ x - 2 + 1 2 ln ⁡ x x = r x = 4

lim r → 2 + ⁡ ln ⁡ 4 4 - 2 - 1 2 ln ⁡ 4 - 2 + 1 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ r r - 2 + 1 2 ln ⁡ r - 2 - 1 2 ln ⁡ r

ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 +   lim r → 2 + ⁡ - ln ⁡ r r - 2 + 1 2 ln ⁡ r - 2

ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 + ∞ = ∞

Resposta

∫ 1 4 - ln ⁡ x x 2 - 4 x + 4   d x   ,       d i v e r g e n t e

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