Determine se a integral abaixo é divergente ou convergente e calcule o valor caso seja convergente:
Passo 1
Bom, aparentemente, temos uma integral definida para calcular. Você tem que ficar atento e ver se a função não tem uma descontinuidade infinita, porque, se tiver, então ela é imprópria e não pode ser calculada diretamente como uma integral definida.
Nesse problema mais especificamente, o enunciado já te dá a dica, porque ele não pede para você calcular a integral. Ele pede para você dizer se ela é convergente ou divergente. Então fica meio que na cara que essa integral aí é imprópria.
Se reescrevermos a integral da forma:
Dá pra sacar que o não pode ser , senão ficamos com e vai dar ruim. Claro que também não poderia ser . Mas se você observar, o intervalo de integração vai de a , ou seja, não está dentro desse intervalo. Isso significa que você não precisa se preocupar com ele. Lembre-se que você tem que se preocupar com descontinuidades em pontos dentro do intervalo de integração, beleza?
Vamos calcular o limite da função quando para garantir que a descontinuidade que ela tem nesse ponto é infinita?
Fazendo L’Hospital, ficamos com:
Ok. Tenho uma descontinuidade infinita em . Então trata-se de um caso de integral imprópria com integrando descontínuo.
Nesse caso, a descontinuidade está em , que está dentro do intervalo . Sendo assim é conveniente a gente escrever a integral dessa forma:
Passo 2
Bem, como não podemos integrar diretamente, porque em da problema, substituímos esse limite de integração por e calculamos o limite quando tende a esse valor pela direita e pela esquerda.
O limite pela esquerda é o da primeira integral porque o intervalo está a esquerda de e a segunda integral leva o limite pela direita porque o intervalo está a esquerda de , beleza?
Para resolver, achamos a integral indefinida e depois substituímos os limites de integração. Essa integral parece um pouco complicada, mas fazendo integração por partes, tiramos de letra, quer ver?
Se
Então:
A segunda integral a gente tira por frações parciais, saca só:
Então ficamos com o seguinte sistema de equações:
O que nos leva à:
E então:
E a integral imprópria fica:
Passo 3
Aplicando os limites, vamos ter, pra primeira integral:
No limite inferior, vamos acabar tendo sempre um multiplicado por alguma coisa. Como esse logaritmo é igual à , nos sobra:
E se olharmos bem, esse limite vai pro infinito! Veja só, o limite acima e o abaixo são a mesma coisa:
O único limite ai que tem um resultado é o último. Vamos ter que esse limite vai ser:
Só isso já é o suficiente galera! Se essa integral diverge, não tem como
Que faltou calcular, convergir. Mas, calculando mesmo assim só pra n deixar sem fazer: