Nos exercícios a use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que converge.
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Passo 1
Antes de começarmos qualquer conta, repare que a integral é imprópria, porque se substituirmos o (ponto do interior do intervalo pedido) na função...
Esse é único ponto de descontinuidade também, então para calcular essa integral indefinida, precisamos dividi-la em outras duas...
Passo 2
O ponto problemático é o , então para não lidarmos diretamente com ele, trocamos por e aplicamos limites (como se o tivesse ficando cada vez mais próximo de ).
(Observe que a primeira integral terá que ser uma tendência pela esquerda () enquanto que a segunda integral, pela direita ())
Sendo assim, como a integral não é complicada, podemos calcula-la e depois voltarmos para o limite e vermos o que acontece, saca?
Passo 3
Calculemos a indefinida só pra saber quem ela é mesmo!
Calculando essa integral...
Como vamos fazer uma integral definida, podemos tomar como ...
Passo 4
Substituindo a integral já calculada, mas não se esquecendo dos limites (pois queremos o resultado da integral definida)...
Substituindo os limites de integração...
O primeiro limite, como fica próximo de a esquerda, é um número pequeno, mas negativo, logo...
O segundo limite, tende pela direita, então é um número pequeno, mas positivo...
Como o limite está tendendo a ... A integral diverge, saca?
Resposta
Integral diverge.