Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

Ver Teoria
Exercício 3812345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283

Enunciado

Calcule a seguinte integral imprópria:

∫ 0 1 1 x 2 - 1 d x

Passo 1

A integral é imprópria porque em x = 1 o denominador se anula. Então vamos ter que fazer o seguinte:

∫ 0 1 1 x 2 - 1 d x = lim b → 1 - ⁡ ∫ 0 b 1 x 2 - 1 d x

Passo 2

Começando pela integral

∫ 0 b 1 x 2 - 1 d x

Vamos escrever ela assim:

∫ 0 b 1 x + 1 x - 1 d x

Agora é decompor o integrando em frações parciais:

1 x + 1 x - 1 = A x + 1 + B x - 1

Botando tudo no mesmo denominador:

A x - 1 + B x + 1 x + 1 x - 1 = A x - A + B x + B x + 1 x - 1 = A + B x + B - A x + 1 x - 1

Passo 3

Comparando:

1 x + 1 x - 1 = A + B x + B - A x + 1 x - 1

Caímos num sistema:

A + B = 0 B - A = 1

Somando as 2 equações, obtemos

A + B + B - A = 0 + 1

2 B = 1

⇒ B = 1 2

Daí, segue que

A = - 1 2

Passo 4

Disso tudo, concluímos que

1 x 2 - 1 = - 1 2 x + 1 + 1 2 x - 1 = 1 2 1 x - 1 - 1 x + 1

Portanto, a integral vai ser

∫ 0 b 1 x 2 - 1 d x = ∫ 0 b 1 2 1 x - 1 - 1 x + 1 d x

= 1 2 ∫ 0 b 1 x - 1 d x - ∫ 0 b 1 x + 1 d x

Passo 5

Vamos calcular essas novas integrais que apareceram.

A primeira vai ser

∫ 0 b 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1 0 b = ln ⁡ b - 1 - ln ⁡ 0 - 1

= ln ⁡ b - 1 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ b - 1

E a segunda:

∫ 0 b 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1 0 b = ln ⁡ b + 1 - ln ⁡ 0 + 1

= ln ⁡ b + 1 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ b + 1

Ou seja:

∫ 0 b 1 x 2 - 1 d x = 1 2 ln ⁡ b - 1 - ln ⁡ b + 1

Passo 6

Agora sim vamos aplicar o limite:

lim b → 1 - ⁡ ∫ 0 b 1 x 2 - 1 d x = lim b → 1 - ⁡ 1 2 ln ⁡ b - 1 - ln ⁡ b + 1

Temos

lim b → 1 - ⁡ ln ⁡ b + 1 = ln ⁡ 2

E

lim b → 1 - ⁡ ln ⁡ b - 1 = - ∞

Logo,

lim b → 1 - ⁡ ∫ 0 b 1 x 2 - 1 d x = - ∞

Então a integral diverge.

Resposta

A integral diverge:

∫ 0 1 1 x 2 - 1 d x = - ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 1 1 - x 2d x
Investigar as integrais impróprias.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 3 x 5d x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])