Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

A integral ∫ 0 1 2 1 x ln 2 ⁡ x   d x é igual a:

  1. 1 ln ⁡ 2
  2. 1 ln ⁡ 3
  3. 1 ln ⁡ 4
  4. 1 ln ⁡ 5
  5. Esta integral é divergente.

Passo 1

E aí? Tudo beleza? Vamos ver essa integralzinha aqui:

∫ 0 1 2 1 x ln 2 ⁡ x   d x

Seguinte, vamos fazer uma substituição:

u = ln ⁡ x

Aí teremos:

d u = 1 x   d x

Tranquilinho até aqui? Vamos continuar!

Passo 2

Reescrevendo a integral então (sem os limites de integração por enquanto), temos:

∫ 1 u 2   d u

Essa é fácil de resolver!

∫ 1 u 2   d u = ∫ u - 2   d u = u - 2 + 1 - 2 + 1

= u - 1 - 1 =   - 1 u

Voltando pra variável x :

=   - 1 ln ⁡ x 0 1 / 2

Passo 3

A gente não pode simplesmente substituir aquele 0 , pois essa função não está definida para ele. Daí a gente aplica o limite dessa forma aqui nessa integral imprópria:

l i m b → 0 ∫ b 1 2 1 x ln 2 ⁡ x   d x =   lim b → 0 ⁡ - 1 ln ⁡ x b 1 / 2

E isso é o mesmo que:

= lim b → 0 ⁡ - 1 ln ⁡ 1 2 - - 1 ln ⁡ b

A gente pode tirar o termo constante:

= - 1 ln ⁡ 1 2 + l i m b → 0 1 ln ⁡ b  

Passo 4

Vamos focar nesse limite agora:

l i m b → 0 1 ln ⁡ b

Veja que: ln ⁡ b   ,com b → 0 , tende a - ∞ . Então basicamente temos:

l i m b → 0 1 ln ⁡ b = 1 - ∞ = 0

Voltando lá em cima então, temos:

= - 1 ln ⁡ 1 2 + l i m b → 0 1 ln ⁡ b

=   - 1 ln ⁡ 1 2 + 0

= - 1 ln ⁡ 1 2

Passo 5

Só falta a gente dar uma arrumadinha nesse termo para chegar em uma alternativa:

- 1 ln ⁡ 1 2 =   - 1 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2

=   - 1 0 - ln ⁡ 2 = - 1 - ln ⁡ 2

= 1 ln ⁡ 2

Então, encontramos que:

∫ 0 1 2 1 x ln 2 ⁡ x   d x = 1 ln ⁡ 2

Alternativa A 😉

Resposta

  1. 1 ln ⁡ 2

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