Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

2. Calcule as integrais improprias abaixo, se as mesmas convergirem:

b. ∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte integral para resolver

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x

Agora, repara que nessa integral temos o produto de funções de “tipos” diferentes. Temos uma função exponencial e 2 x e uma função trigonométrica sin ⁡ 3 x .

Quando isso acontecer, a dica é utilizar a integração por partes. Para quem não lembra ele tem essa cara aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Agora bora aplicar!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral de forma indefinida!

A gente sempre começa definindo quem será a parte u e a parte d v da função. E agora vem a primeira dica para definirmos isso.

Vamos sempre priorizar essa ordem para chamar de u : Logaritmica; Inversa trigonométrica; Polinomial; Trigonométrica; e Exponencial.

Sendo assim, temos que

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Logo,

d v = 1 x 2 d x → v = - 1 x

Agora vamos para a nossa integral!

Passo 3

Resolvendo de forma indefinida ficamos com

∫ ln ⁡ x x 2 d x = ln ⁡ x - 1 x - ∫ - 1 x 1 x d x

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x + ∫ 1 x 2 d x

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x - 1 x

Passo 4

Agora vamos aplicar os nossos limites de integração! Antes de fazer isso, temos que nos atentar, a um detalhe: os limites de integração são 1 e , ou seja, ela não é definida em .

Sendo assim, para calcular o nosso limite teremos que fazer,

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x 2 d x

Isso será

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - ln ⁡ t t - 1 t - - 0 - 1

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - ln ⁡ t t - 1 t + 1

Calculando esse limite, temos que,

lim t → ∞ ⁡ - ln ⁡ t t - 1 t + 1 = 0 + 0 + 1

Passo 5

Voltando para a nossa integral ficamos com

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = 1

Ou seja, nossa integral converge para 1 .

Resposta

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