2. Calcule as integrais improprias abaixo, se as mesmas convergirem:
b.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte integral para resolver
Agora, repara que nessa integral temos o produto de funções de “tipos” diferentes. Temos uma função exponencial e uma função trigonométrica .
Quando isso acontecer, a dica é utilizar a integração por partes. Para quem não lembra ele tem essa cara aqui:
Agora bora aplicar!
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral de forma indefinida!
A gente sempre começa definindo quem será a parte e a parte da função. E agora vem a primeira dica para definirmos isso.
Vamos sempre priorizar essa ordem para chamar de : Logaritmica; Inversa trigonométrica; Polinomial; Trigonométrica; e Exponencial.
Sendo assim, temos que
Logo,
Agora vamos para a nossa integral!
Passo 3
Resolvendo de forma indefinida ficamos com
Passo 4
Agora vamos aplicar os nossos limites de integração! Antes de fazer isso, temos que nos atentar, a um detalhe: os limites de integração são e , ou seja, ela não é definida em .
Sendo assim, para calcular o nosso limite teremos que fazer,
Isso será
Calculando esse limite, temos que,
Passo 5
Voltando para a nossa integral ficamos com
Ou seja, nossa integral converge para .