Diga se a integral converge ou diverge
Passo 1
Novamente, temos que ficar atentos: não pode passar batido o fato de que aquele denominador ali não pode ser igual a . Se calcularmos o limite daquela função quando :
Portanto, esse é um daqueles casos de integral imprópria porque o integrando tem uma descontinuidade infinita no intervalo de integração dado. Repara que, nesse caso, a descontinuidade está em , que faz parte do intervalo de integração .
Passo 2
Como a descontinuidade infinita está no meio do intervalo de integração, esse é aquele caso em que tenho que dividir o intervalo de integração em dois, um que vai do limite inferior até o ponto de descontinuidade e outro que vai desse ponto de descontinuidade até o limite superior:
Aí lembra que eu não vou substituir direto . N verdade, quero o limite quando tende a zero pela direita e pela esquerda, beleza? Por isso que eu vou escrever isso aqui:
Passo 3
Tá tranquilo e favorável até aí?
Então agora vamos achar a primitiva e depois substituir os limites, pode ser?
Nesse caso, essa integral sai por substituição simples:
Substituindo na expressão, vamos ter:
Voltando para :
Passo 4
Passo 5
Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calculando os limites:
Gente, só existe logaritmo de número positivo, certo? Ou seja, se eu me aproximasse do pelo lado esquerdo daria ruim. Nem existe como isso ser feito. Por aí, já dá para ver que a integral vai divergir. Mas se quisermos calcular o outro limite:
Essa integral diverge, isto é, seu limite não é um número finito.
Resposta
A integral diverge.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)