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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 4.8

4.8. Calcule a integral indefinida ∫ 1 - x 2 d x , lembrando que a resposta deve depender de x .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que obter a integral ∫ 1 - x 2 d x cujo resultado depende de x .

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar uma mudança de variáveis fazendo x = s e n u e consequentemente

d x d u = cos ⁡ u → d x = cos ⁡ u d u

Sacou truque? Bora começar assim. 😁

Passo 2

Aplicando essa mudança na integral, vamos obter

∫ 1 - x 2 d x → ∫ 1 - s e n 2 u cos ⁡ u d u

Como s e n 2 u + c o s 2 u = 1 , temos que

c o s 2 u = 1 - s e n 2 u

cos ⁡ u = 1 - s e n 2 u

Substituindo na integral...

∫ cos ⁡ u cos ⁡ u d u

∫ cos 2 ⁡ u d u

Podemos aplicar a relação c o s 2 u = 1 + cos ⁡ 2 u 2

∫ cos 2 ⁡ u d u = ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u

∫ cos 2 ⁡ u d u = 1 2 ∫ 1 d u + ∫ cos ⁡ 2 u d u

Sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração, ou seja

∫ 1 d u = u

Já na integral de cos ⁡ 2 u podemos fazer v = 2 u e consequentemente d v d u = 2 → d u = 1 2 d v

∫ cos ⁡ 2 u d u → ∫ cos ⁡ v 1 2 d v

∫ cos ⁡ v 1 2 d v = 1 2 s e n v

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos organizar nossa resposta...

Substituindo os resultados das integrais parciais de cos 2 ⁡ u vamos obter

∫ cos 2 ⁡ u d u = 1 2 ∫ 1 d u + ∫ cos ⁡ 2 u d u

∫ cos 2 ⁡ u d u = 1 2 u + 1 2 s e n v + C

Voltando v para 2 u , temos

∫ cos 2 ⁡ u d u = 1 2 u + 1 2 s e n 2 u + C

E como x = s e n u , temos que u = a r c s e n x ... ou seja

�� 1 - x 2 d x = 1 2 a r c s e n x + 1 2 s e n 2 a r c s e n x + C

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 1 - x 2 d x = 1 2 a r c s e n x + 1 2 s e n 2 a r c s e n x + C

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