Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Passo 1

Temos uma integral imprópria já que ela não é continua, sen ⁡ π / 2 = 1 .

Para saber se a integral converge ou diverge precisamos aplicar o limite da integral e ver se dá um número finito. Se sim, então a integral é convergente. Se ao calcular o limite obtivermos um valor tipo ± ∞ , a integral é divergente.

Passo 2

Quando temos uma integral imprópria desse tipo, precisamos fazer

∫ 0 π 2 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = lim r → π / 2 ⁡ ∫ 0 r cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x ⁡

Passo 3

Agora vamos resolver a integral normalmente. Para isso vamos utilizar a substituição

u = 1 - sen ⁡ x

d u = - cos ⁡ x   d x

∫ 0 r cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = - ∫ 0 r d u u

= - u 1 2 0 r

Desfazendo a substituição

∫ 0 r cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = - 2 1 - sen ⁡ x 0 r

Aplicando os limites de integração

∫ 0 r cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = - 2 1 - sen ⁡ r + 2 1 - sen ⁡ 0

Passo 4

Aplicando o limite

∫ 0 π 2 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = lim r → π / 2 ⁡ ∫ 0 r cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x ⁡

∫ 0 π 2 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = lim r → π / 2 ⁡ - 2 1 - sen ⁡ r + 2 1 - sen ⁡ 0 ⁡

∫ 0 π 2 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = lim r → π / 2 ⁡ - 2 1 - sen ⁡ π 2 + 2 1 - sen ⁡ 0 ⁡

∫ 0 π 2 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x d x = 2 ⁡

O limite resultou em um número finito, logo a integral converge.

Resposta

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