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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Seja k > 1 . Considere as seguintes integrais:

I     ∫ 0 1 x ln ⁡ x d x

I I     ∫ 1 + ∞ 1 x k d x

É correto afirmar:

  1. Ambas as integrais convergem
  2. Ambas as integrais divergem
  3. Apenas a integral em I converge
  4. Apenas a integral em I I converge
  5. A integral em I converge e a convergência da integral em I I depende do valor de k

Passo 1

Temos duas integrais impróprias para analisar. Começando pela 1ª:

∫ 0 1 x ln ⁡ x d x

Ela é imprópria pois

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Então vamos calculá-la fazendo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 x ln ⁡ x d x

Passo 2

Na integral

∫ a 1 x ln ⁡ x d x

temos uma raiz quadrada e um logaritmo, duas funções nada a ver uma com a outra. Então a boa vai ser mandar uma integração por partes.

Pelo nosso LIATE, vamos fazer

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x d v = x   d x = x 1 2 d x → v = 2 3 x 3 2

Portanto:

∫ a 1 x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x a 1 - ∫ a 1 2 3 x 3 2 1 x d x

= - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a - 2 3 ∫ a 1 x 1 2 d x

Passo 3

Essa nova integral que brotou vai dar:

∫ a 1 x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 a 1 = 2 3 - 2 3 a 3 2

Ou seja nossa integral ficou:

∫ a 1 x ln ⁡ x d x = - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a - 2 3 2 3 - 2 3 a 3 2

= - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a - 4 9 + 4 9 a 3 2

Passo 4

Agora vamos calcular o limite:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 x ln ⁡ x d x = lim a → 0 + ⁡ - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a - 4 9 + 4 9 a 3 2

= lim a → 0 + ⁡ - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a - 4 9 + 0

Na hora de calcular

lim a → 0 + ⁡ - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a

Caímos numa indeterminação “ 0 . ∞ ”, então vamos fazer o seguinte:

lim a → 0 + ⁡ - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a = - 2 3 lim a → 0 + ⁡ ln ⁡ a 1 a 3 2 = - 2 3 lim a → 0 + ⁡ ln ⁡ a a - 3 2

Passo 5

Assim obtemos uma indeterminação “ ∞ / ∞ ” onde dá pra aplicar l’Hôpital:

- 2 3 lim a → 0 + ⁡ ln ⁡ a a - 3 2 = - 2 3 lim a → 0 + ⁡ 1 a - 3 2 a - 5 2

O que vai dar:

4 9 lim a → 0 + ⁡ 1 a - 3 2 = 4 9 lim a → 0 + ⁡ a 3 2 = 4 9 . 0 = 0

Passo 6

Portanto, disso tudo aí concluímos que:

∫ 0 1 x ln ⁡ x d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 x ln ⁡ x d x = lim a → 0 + ⁡ - 2 3 a 3 2 ln ⁡ a - 4 9 = 0 - 4 9 = - 4 9

Portando, a integral em I converge.

Passo 7

Agora vamos pra segunda integral:

∫ 1 + ∞ 1 x k d x

Por definição, temos:

∫ 1 + ∞ 1 x k d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x k d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b x - k d x

Passo 8

Integrado:

∫ 1 b x - k d x = x - k + 1 - k + 1 1 b = b 1 - k 1 - k - 1 1 - k 1 - k = b 1 - k - 1 1 - k

Passo 9

Calculando o limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b x - k d x = lim b → + ∞ ⁡ b 1 - k - 1 1 - k

Pra calcular esse limite é crucial notar que o enunciado definiu k > 1 → 1 - k < 0 .

Assim:

lim b → + ∞ ⁡ b 1 - k = 0 → lim b → + ∞ ⁡ b 1 - k - 1 1 - k = - 1 1 - k

Então a integral I I também converge!

Resposta

Letra (a)

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])