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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Integrais Impróprias

Calcule as integrais abaixo.

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular uma integral definida.

Porém, repare com muita atenção:

Quando x = 0 , ln ⁡ x tende para - ∞ e ln 2 ⁡ x tende para ∞ .

Ou seja, não se trata de uma integral definida simples, e sim, uma integral imprópria!

Para calcular uma integral imprópria, devemos substituí-la por um limite, calcular a integral genérica normalmente e, depois, calcular o limite. Eventualmente, iremos ter que usar L’Hôspital para calcularmos o limite.

Como se trata da integral de uma função logarítmica ln ⁡ x 2 vezes uma função polinomial x 0 d x . Vamos tentar o método de integração por partes?

Passo 2

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 d x = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 ln ⁡ x 2 d x

Vamos calcular a integral isoladamente pelo método da integração por partes:

u = ln ⁡ x 2 → d u = 2 ln ⁡ x . 1 x d x

d v = d x → v = x

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ t 1 ln ⁡ x 2 = x . ln ⁡ x 2 t 1 - 2 ∫ t 1 ln ⁡ x d x

Passo 3

Vamos calcular a nova integral por partes de novo:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = d x → v = x

Aplicando:

= x . ln ⁡ x 2 t 1 - 2 x ln ⁡ x t 1 + 2 ∫ t 1 d x =

= x . ln ⁡ x 2 t 1 - 2 x ln ⁡ x t 1 + 2 x t 1 =

= 1 . ln 2 ⁡ 1 - 2.1 ln ⁡ 1 + 2.1 - t ln ⁡ t 2 - 2 t . ln ⁡ t + 2 t =

= 2 - t ln 2 ⁡ t + 2 t ln ⁡ t - 2 t

Passo 4

Calculando o limite:

2 - lim t → 0 + ⁡ t   l n 2 t + 2 lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ t - 2 lim t → 0 + ⁡ t

Vamos calcular os limites separadamente:

lim t → 0 + ⁡ t . ln ⁡ t = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t 1 t = lim t → 0 + ⁡ 1 t - 1 t 2 = 0

lim t → 0 + ⁡ t . l n 2 t = lim t → 0 + ⁡ ln 2 ⁡ t 1 t = lim t → 0 + ⁡ 2 ln ⁡ t . 1 t - 1 t 2 = - 2 lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t 1 t = 0

lim t → 0 + ⁡ t = 0

Finalmente:

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 d x = 2

OBS:

1. Em integrais impróprias do TIPO 2 (Integrandos descontínuos), devemos tomar muito cuidado, pois elas se disfarçam de integrais definidas.

2. Nesse problema, usamos um artifício para chegar na indeterminação ∞ ∞ e poder usar L’Hôspital. Assim:

lim t → 0 + ⁡ t . ln ⁡ t = 0 . - ∞ → lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t 1 t = - ∞ ∞

Resposta

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 d x = 2

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