Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 12 use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que converge.

10)

∫ 1 3 x 2 x 3 - 1 d x

Passo 1

Antes de começarmos qualquer conta, repare que a integral é imprópria, porque se substituirmos o 1 na função...

1 2 1 3 - 1 = 1 0

O que sabemos que não pode acontecer, ou seja, a função não é contínua nesse ponto. Mas qualquer outro ponto do interior de ( 1 ,   3 ] ela é contínua.

Sendo assim, como a integral não é complicada, podemos calcula-la e normalmente e depois verificar o que acontece nos extremos, saca? Então vem comigo ;)

Passo 2

Calculemos a indefinida só pra saber quem ela é mesmo!

∫ x 2 x 3 - 1 d x

Calculando essa integral por uma substituição simples...

x 3 - 1 = a       →             d a = 3 x 2 d x         o u               x 2 d x = d a 3

∫ x 2 x 3 - 1 d x = ∫ 1 a d a 3 =

1 3 ∫ a - 1 2   d a = 1 3 a 1 2 1 2 + C =

2 3 a + C

Como vamos fazer uma integral definida, podemos tomar C como 0 e, além disso, voltando para a variável original...

∫ x 1 - x 2 d x = 2 3 x 3 - 1

Passo 3

Vamos substituir o ponto problemático (o número 1 ) por um b e falar que b tende a 1 pela direita...

∫ 1 3 x 1 - x 2 d x = lim b → 1 + ⁡ ∫ b 3 x 1 - x 2 d x

A gente só faz esse limite pra não trabalhar com o ponto problemático de cara, saca?

Substituindo a integral já calculada, mas não se esquecendo dos limites (pois queremos o resultado da integral definida)...

lim b → 1 + ⁡ ∫ b 3 x 1 - x 2 d x = lim b → 1 + ⁡ 2 3 x 3 - 1 b 3 =

lim b → 1 + ⁡ 2 3 3 3 - 1 - 2 3 b 3 - 1 = lim b → 1 + ⁡ 2 3 3 3 - 1 - 2 3 1 3 - 1 =

2 26 3

Resposta

Integral converge

2 26 3

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Investigar as integrais impróprias.
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Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])