Determine se as integrais abaixo são divergentes ou convergentes e calcule o valor daquelas que forem convergentes:
Passo 1
Bom, aparentemente, temos uma integral definida para calcular. Você tem que ficar atento e ver se a função não tem uma descontinuidade infinita, porque, se tiver, então ela é imprópria e não pode ser calculada diretamente como uma integral definida.
Nesse problema mais especificamente, o enunciado já te dá a dica, porque ele não pede para você calcular a integral. Ele pede para você dizer se ela é convergente ou divergente. Então fica meio que na cara que essa integral aí é imprópria.
Observa que o não pode ser , senão e vai dar ruim. Claro que também não poderia ser . Mas se você observar, o intervalo de integração vai de a , ou seja, não está dentro desse intervalo. Isso significa que você não precisa se preocupar com ele. Lembre-se que você tem que se preocupar com descontinuidades em pontos dentro do intervalo de integração, beleza?
Vamos calcular o limite da função quando para garantir que a descontinuidade que ela tem nesse ponto é infinita?
Ok. Tenho uma descontinuidade infinita em . Então trata-se de um caso de integral imprópria com integrando descontínuo.
Nesse caso, a descontinuidade está em , que é a extremidade do intervalo .
- ''Passo 2
No caso em que a descontinuidade está no limite inferior de integração, substituímos esse limite por e calculamos o limite quando tende a esse valor pela direita:
Para resolver, achamos a integral indefinida e depois substituímos os limites de integração pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Para calcular essa integral indefinida, basta você lembrar que trata-se daqueles casos classiquinhos de substituição simples, em que eu tenho um ali e um , que é derivada dele. Então aquele ali está pedindo para ser chamado de , não é?
Substituindo na expressão, vamos ter:
Voltando para :
- ''Passo 3
Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Voltando ao limite da integral imprópria:
Logo, o limite existe e a integral é convergente!