2. Calcule as integrais improprias abaixo, se as mesmas convergirem:
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte integral para resolver
Repara que ela não é uma integral direta, então vamos ter que suar alguma estratégia de integração para resolve-la.
A gente sempre começa tenta fazer por substituição simples! Para isso, nós temos que encontrar uma parte da integral que tenha a relação função e sua derivada.
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar, resolvendo a integral de forma indefinida!
Para escolhermos qual substituição fazer, vamos olhar para parte polinimial da função e lembrar que a derivada de um polinominio é:
Ou seja, se temos partes polinomiais que diferem em um grau, a que te tiver o grau maior sera uma candidata a ser chamada de .
Sendo assim, vamos fazer
Derivando,
Agora vamos reescrever a nossa integral!
Passo 3
Fazendo a substituição simples, ficamos com
Agora vamos resolver a integral!
Mas lembra que . Então,
Passo 4
Agora vamos aplicar os nossos limites de integração! Antes de fazer isso, temos que nos atentar, a um detalhe: os limites de integração são e , mas neste intervalo temos um ponto onde a nossa função não é definida. Repara que a função não existe em .
Sendo assim, para calcular o nosso limite teremos que fazer,
Como já calculamos a nossa integral não é definida em , teremos
Isso será
Agora vamos resolver os limites!
Passo 5
Para o primeiro limite teremos,
Já o limite,
Passo 6
Voltando para a nossa integral ficamos com
Ou seja, nossa integral diverge.
Resposta
A integral diverge.