Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule as integrais:

b   ∫ 0 e x ln ⁡ x d x

Passo 1

Para não haver confusão, vou primeiro resolver a primitiva e depois aplico os limites de integração. Vamos calcular a seguinte primitiva, então:

∫ x ln ⁡ x d x

Como esse cara aí é uma mistura de polinômio com logaritmo, e não tem nenhuma substituição clara que resolva de primeira, vamos de substituição por Partes. Pelo LIATE, temos o seguinte:

u = ln ⁡ x → d u = d x x

d v = x d x → v = x 3 2 3 2 = 2 x 3 2 3

Basta usar a fórmula da integral por partes agora:

∫ x ln ⁡ x d x = 2 x 3 2 ln ⁡ x 3 - ∫ 2 x 3 2 3 d x x

= 2 x 3 2 ln ⁡ x 3 - 2 3 ∫ x 1 2 d x

= 2 x 3 2 ln ⁡ x 3 - 2 3 x 3 2 3 2

= 2 x 3 2 3 ln ⁡ x - 2 3

Passo 2

Agora podemos usar esses limites de integração. Só que tem um detalhe: o ponto x = 0 não está definido no domínio! Essa é uma integral imprópria, então vamos chamar de a o limite inferior e calcular seu limite quando a → 0 +

= lim a → 0 + ⁡ 2 x 3 2 3 ln ⁡ x - 2 3 [ e a

= lim a → 0 + ⁡ 2 e 3 2 3 ln ⁡ e - 2 3 - 2 a 3 2   3 ln ⁡ a - 2 3

= 2 e 3 2 3 1 3 - 2 3 lim a → 0 + ⁡ ln ⁡ a - 2 3 a - 3 2

O limite que sobrou na direita cai numa indeterminação do tipo - ∞ ∞ . Vamos de L’Hospital:

lim a → 0 + ⁡ ln ⁡ a - 2 3 a - 3 2 = lim a → 0 + ⁡ ln ⁡ a - 2 3 ' a - 3 2 '

= lim a → 0 + ⁡ 1 a - 5 a - 5 2 2 = - 2 5 lim a → 0 + ⁡ a 3 2 = 0

Dessa maneira,

2 e 3 2 3 1 3 - 2 3 lim a → 0 + ⁡ ln ⁡ a - 2 3 a - 3 2 = 2 e 3 2 9 - 2 3 0

= 2 e 3 2 9

Resposta

∫ 0 e x ln ⁡ x d x = 2 e 3 2 9

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