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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Discuta a convergência ou divergência da integral imprópria

∫ 0 e x 2 ln ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro, vamos analisar um pouco a função que está sendo integrada. Note que

x 2 ln ⁡ x

é contínua no intervalo 0 ,   e e descontínua em x = 0 , pois nesse ponto ela não está definida ( ln ⁡ 0 não existe no conjunto dos reais). Portanto, precisamos tirar o 0 do intervalo de integração e transformar a integral em um limite, assim:

lim a → 0 ⁡ ∫ a e x 2 ln ⁡ x   d x ⁡

Passo 2

Antes de resolver o limite, temos que saber o resultado da integral indefinida

∫ x 2 ln ⁡ x d x

para depois aplicá-lo na resolução do limite. Essa integral pode ser resolvida fazendo integração por partes. Vamos usar

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = x ² d x → v = x 3 3

Logo

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ 1 x ∙ x 3 3 d x = x 3 ln ⁡ x 3 - 1 3 ∫ x ² d x = x 3 ln ⁡ x 3 - x 3 9 + C

Passo 3

Agora temos que calcular a integral definida, usando o resultado obtido acima

∫ a e x 2 ln ⁡ x   d x = x 3 ln ⁡ x 3 - x 3 9 a e = 2 e 3 9 - a 3 ln ⁡ a 3 - a ³ 9

Passo 4

Finalmente, podemos calcular o limite.

lim a → 0 ⁡ ∫ a e x 2 ln ⁡ x   d x

= lim a → 0 ⁡ 2 e 3 9 - a 3 ln ⁡ a 3 - a 3 9

= 2 e 3 9 - lim a → 0 ⁡ a 3 ln ⁡ a 3 - a 3 9

= 2 e 3 9 - lim a → 0 ⁡ a 3 ln ⁡ a 3 + lim a → 0 ⁡ a 3 9

= 2 e 3 9 - lim a → 0 ⁡ a 3 ln ⁡ a 3 + 0

= 2 e 3 9 - lim a → 0 ⁡ a 3 ln ⁡ a 3

= 2 e 3 9 - lim a → 0 ⁡ ln ⁡ a 3 a ³

Aplicando L’Hospital temos

2 e 3 9 - lim a → 0 ⁡ 1 a - 9 a 4

= 2 e 3 9 - lim a → 0 ⁡ - a 3 9

= 2 e 3 9 - 0

= 2 e 3 9

Como a integral teve um número como resultado, ela é convergente.

Passo 5

Resposta

C o n v e r g e n t e

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])