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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Questão 1:

Calcule as seguintes integrais:

b)

∫ 0 1 log 3 ⁡ x d x

Passo 1

Antes de calcular essa integral aí, note que o logaritmo não está definido no 0 . Ora, o domínio de funções logarítmicas é 0 ,   + ∞ . Saca?

Então trata-se de uma integral imprópria, e portanto devemos resolver como um limite...

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 log 3 ⁡ x d x

Mas antes de resolver esse limite, calculemos a integral indefinida primeiro! ;)

∫ log 3 ⁡ x   d x

Passo 2

Para resolvermos essa integral, vamos fazer uma mudança de base nesse logaritmo para a base e (transformar o log em l n )

log 3 ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ 3

Logo...

∫ log 3 ⁡ x   d x = ∫ ln ⁡ x ln ⁡ 3   d x =

1 ln ⁡ 3 ∫ ln ⁡ x   d x

Essa integral aí se resolve fazendo uma integração por partes...

u = ln ⁡ x               →                     d u = 1 x d x

d v = d x                                     →                                     v = x

Jogando na fórmula de integração por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - ∫ x ⋅ 1 x d x

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - ∫ d x =

x ln ⁡ x - x + C

Logo a integral indefinida...

∫ log 3 ⁡ x   d x = 1 ln ⁡ 3 x ln ⁡ x - x + C

x ln ⁡ x ln ⁡ 3 - x ln ⁡ 3 + C

(lembre-se de que uma constante dividido por um número é também uma constante que aqui podemos chamar de C também, heim)

Passo 3

Pegando esse resultado e voltando para o limite da integral imprópria...

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 log 3 ⁡ x d x = lim t → 0 + ⁡ x ln ⁡ x ln ⁡ 3 - x ln ⁡ 3 + C t 1 =

lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 3 + C - t ln ⁡ t ln ⁡ 3 - t ln ⁡ 3 + C =

lim t → 0 + ⁡ - 1 ln ⁡ 3 - t ln ⁡ t ln ⁡ 3 + t ln ⁡ 3

Separando os limites e passando as constantes para fora..

lim t → 0 + ⁡ - 1 ln ⁡ 3 - t ln ⁡ t ln ⁡ 3 + t ln ⁡ 3 = lim t → 0 + ⁡ - 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 3 lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ t + lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ 3

O primeiro limite e o último morrem, afinal o limite de uma constante é a constante, e o limite de lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ 3 = 0 :

lim t → 0 + ⁡ - 1 ln ⁡ 3 - t ln ⁡ t ln ⁡ 3 + t ln ⁡ 3 = - 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 3 lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ t

Para calcular esse último limite, vem comigo!

Passo 4

lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ t

Esse limite não é 0 , pois temos que o l n vai ao infinito negativo quando se aproxima de 0 , então temos um caso de 0 ⋅ ∞ onde não podemos falar nada. Por isso, a ideia é tentar aplicar L’hopital. Dando mais uma arrumada...

lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ t = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t 1 t

Como 1 t   →       1 0 isso vai para o infinito, temos um caso de ∞ / ∞ , logo podemos aplicar L’hopital...

lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t 1 t = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t ' 1 t ' =

lim t → 0 + ⁡ 1 t - 1 t 2 = lim t → 0 + ⁡ - t 2 t =

lim t → 0 + ⁡ - t = 0

Passo 5

Portanto...

∫ 0 1 log 3 ⁡ x d x = - 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 3 lim t → 0 + ⁡ t ln ⁡ t   →

∫ 0 1 log 3 ⁡ x d x = - 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 3 ⋅ 0   →

∫ 0 1 log 3 ⁡ x d x = - 1 ln ⁡ 3

Resposta

- 1 ln ⁡ 3

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])