- Calcule a integral
Passo 1
Note, para começo de conversa, que se a a função que estamos integrando apenas não funciona no ponto . Mas mesmo assim, estamos integrando até , ou seja...
Estamos lidando com uma integral imprópria.
Para a gente resolver este tipo de integral, vamos calcular a integral indefinida primeiro
mas sem colocar a constante. Depois aplicamos o limite do indo para , beleza?
Passo 2
Podemos resolver a integral indefinida acima fazendo uma substituição simples, ou seja
Então
Substituindo tudo...
Jogando essa constante para fora e calculando a integral sem colocar a constante...
Voltando com a variável original...
Passo 3
Bem, se a integral não fosse imprópria, bastava substituir os limite e pronto. Mas... como isso não acontece aqui, vamos fazer o seguinte:
No lugar do na integral
Que é o nosso ponto problemático, vamos colocar um qualquer
Agora a gente pega o resultado da integral, indefinida e substitui esses limites
Substituindo os limites de integração...
Dando uma arrumada na casa
Colocando em evidência esse
Se você se recordar da propriedade de subtração de logaritmos, podemos simplificar isso aí em uma divisão...
Passo 4
A próxima coisa que a gente tem que fazer aqui agora é substituir o por , como não podemos fazer isso, a gente vai aplicar um limite
Observe que estamos nos aproximando de pelo lado positivo, porque estamos saindo de até .
Como o termo vai para infinito positivo quando nos aproximamos de pela direita, o também explode para o infinito, logo
a integral diverge!