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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Calcule as integrais:

∫ 0 2 x - 3 x 2 - 1   d x

Passo 1

Bem, olha, vamos com calma. Primeiro a gente resolve de forma indefinida, depois aplica os limites de integração. Nota o seguinte galera, o denominador é uma diferença de quadrados, então dos produtos notáveis e frações parciais, podemos tirar:

∫ x - 3 x 2 - 1   d x = ∫ x - 3 x - 1 x + 1   d x = ∫ A x - 1 + B x + 1   d x

∫ x - 3 x 2 - 1   d x = ∫ A x - 1   d x + ∫ B x + 1   d x

Como essas integrais são de resolução direta, temos:

∫ x - 3 x 2 - 1   d x = A ln ⁡ x - 1 + B ln ⁡ x + 1

Onde A , B são constantes que temos que determinar, beleza? Bem, pra achar esses carinhas ai, pensa na igualdade que fizemos anteriormente:

x - 3 x - 1 x + 1 = A x - 1 + B x + 1

E se colocássemos tudo no mesmo denominador e aplicássemos distributiva pras nossas constantes? Olha só como fica:

x - 3 x - 1 x + 1 = A x + 1 x - 1 x + 1 + B x - 1 x - 1 x + 1

x - 3 x - 1 x + 1 = A x + A x - 1 x + 1 + B x - B x - 1 x + 1

Cortando o denominador da jogada e agrupando os termos em comum, temos:

x - 3 = A x + A + B x - B

1 x + - 3 = A + B x + A - B

E opa! Daí da pra montar um sisteminha que se resolve tranquilo se somarmos as duas equações:

A + B = 1 A - B = - 3

2 A = - 2

A = - 1

O que implica em B = 2 e, portanto, no resultado:

∫ x - 3 x 2 - 1   d x = - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1

Passo 2

Bora galera, ta acabando! Agora aplicamos os limites de integração:

∫ 0 2 x - 3 x 2 - 1   d x

Mas opa! Calma lá! x = 1 é um ponto de descontinuidade dessa função e ele está dentro do intervalo de integração! A forma correta de calcularmos esse cara é separarmos:

∫ 0 2 x - 3 x 2 - 1   d x = ∫ 0 1 x - 3 x 2 - 1   d x + ∫ 1 2 x - 3 x 2 - 1   d x

∫ 0 2 x - 3 x 2 - 1   d x = lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t x - 3 x 2 - 1   d x + lim t → 1 + ⁡ ∫ t 2 x - 3 x 2 - 1   d x

Agora sim! Como sabemos o resultado da integral, vamos ter:

∫ 0 2 x - 3 x 2 - 1   d x = lim t → 1 - ⁡ - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 x = 0 x = t + lim t → 1 + ⁡ - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 x = t x = 2

Podemos poupar algumas contas logo de cara pegando só um desses limites:

lim t → 1 - ⁡ - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 x = 0 x = t =

= lim t → 1 - ⁡ - ln ⁡ t - 1 + 2 ln ⁡ t + 1 - - ln ⁡ 0 - 1 + 2 ln ⁡ 0 + 1

= lim t → 1 - ⁡ - ln ⁡ t - 1 + 2 ln ⁡ 2 = - - ∞ + 2 ln ⁡ 2 = + ∞

Se esse termo explodiu pra um dos infinitos, então toda a integral imprópria:

∫ 0 2 x - 3 x 2 - 1   d x

Irá divergir, de forma que nem precisamos nos preocupar em calcular

lim t → 1 + ⁡ - ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 x = t x = 2

Resposta

∫ 0 2 x - 3 x 2 - 1   d x → D i v e r g e

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Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])