UFABC-Função de uma variável - Lista 11 integral impropria
Calcule as integrais impróprias abaixo:
Passo 1
Pessoal, primeiramente precisamos analisar essa função. Se você analisar direitinho, temos que o valor do seno no não gera problema, mas quando se aproxima de 0 nossa divisão tende a infinito porque o seno tende cada vez mais para 0.
Então temos que o valor da se aproxima cada vez mais de . Então, analisar essa integral é descobrir primeiramente se a função existe lá no infinito.
Para que isso tudo é útil? Olha só temos o probleminha quando o se aproxima do né?
Sendo assim, temos que isso se enquadra em um problema de integral imprópria. Mas antes de tudo vamos bater um papo sobre esse tipo de integral?
Então vaaaaaaaaaaaamos lá
Gostaria de te fazer uma pergunta, você sabe o que é o infinito? Sabe contar até o infinito?
Complicado né, bem amiguinho o conceito de integral imprópria é um conceito na qual você soma infinitos pedacinhos, mas ela pode ser analisada com pontos em proximidades a indeterminações.
isso aí, o conceito de integral imprópria é uma espécie de soma chamada soma de Riemann. Então quando você tem algo desse tipo aqui:
Você está somando pedacinhos da primitiva dá de até . Então, você deve sacar que somar infinitos pedacinhos dessa primitiva. Então analisar isso de forma direta é complicado, mas temos uma sacadinha moral...
Então precisamos de uma maneira alternativa de somar essa soma, e já temos um conceito legal para fazer isso. Esse conceito é o conceito de limites, ou seja, vamos analisar o que acontece com essa soma quando ela se aproxima do infinito. Sendo assim, a nossa formulinha para resolver essa integral é algo assim:
Iae sacou? Toda vez que tiver uma integral dessa forma, chamada integral impropria vamos trocar o infinito por alguma letra qualquer e colocar a integral dentro de um limite dessa forminha.
Só que na nossa questão o infinito não aparece né?
E a indeterminação está no então vamos calcular o limite da seguinte forma:
E trazendo para a nossa questão as coisas ficam da seguinte forma:
Passo 2
Bem pessoal, vamos partir da formulinha da integral dada na questão que é essa aqui:
Mas existe uma forma de simplificar, utilizando a seguinte relação trigonométrica:
E para resolver vamos precisar colocar naquela formulinha com o limite deixando da seguinte forma:
Utilizamos isso porque quando vai para o nos percebemos que a função vai para a infinito, então a indeterminação é o . Além disso precisamos saber que:
Logo temos que:
Só que temos um probleminha o limite da cotangente não existe então a integral é divergente e não tem solução.